7.5：正态分布 原卷版.docx

7.5：正态分布

【考点梳理】

考点一、正态曲线 考点二、标准正态分布的性质

考点三、3σ原则的应用 考点四：正态分布的对称性求参数

考点五：区间概率问题 考点六：正态分布的实际应用

【知识梳理】

知识点一正态曲线与正态分布

1．我们称f(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))，x∈R，其中μ∈R，σ0为参数，为正态密度函数，称其图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．

2．若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．

特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布．

3．若X～N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积．

知识点二正态曲线的特点

1．对?x∈R，f(x)0，它的图象在x轴的上方．2．曲线与x轴之间的面积为1.

3．曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称．4．曲线在x＝μ处达到峰值eq\f(1,σ\r(2π)).

5．当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．

6．当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①.

7．当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②.

知识点三正态总体在三个特殊区间内取值的概率值及3σ原则

P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.

尽管正态变量的取值范围是(－∞，＋∞)，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间[μ－3σ，μ＋3σ]内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．

在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则．

【题型归纳】

题型一、正态曲线

1．（2023·浙江宁波·二模）设随机变量服从正态分布，的分布密度曲线如图所示，若，则与分别为（????）

A． B． C． D．

2．（21-22高二下·河南南阳·期末）已知三个正态密度函数（，）的图像如图所示，则（????）

A．， B．，

C．， D．，

3．（21-22高二下·浙江温州·期中）设，，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是（????）

A． B．

C． D．

题型二、标准正态分布的性质

4．（23-24高二下·全国·课时练习）设随机变量，已知，则（）

A．0.95 B．0.05 C．0.975 D．0.425

5．（23-24高三上·全国·）某校高三数学摸底考试成绩（单位：分）近似服从正态分布，且，该校高三数学摸底考试成绩超过90分的人数有930人，则（????）

A．估计该校高三学生人数为1200

B．估计该校学生中成绩不超过90分的人数为70．

C．估计该校学生中成绩介于90到110分之间的人数为425．

D．估计该校学生中成绩不超过90分的人数比超过130分的人数多．

6．（23-24高三上·重庆·阶段练习）阿鑫上学有时坐公交车，有时骑自行车.若阿鑫坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，其密度曲线如图所示，则以下结论错误的是（????）

??

A．Y的数据较X更集中

B．若有34min可用，那么坐公交车不迟到的概率大

C．若有38min可用，那么骑自行车不迟到的概率大

D．

题型三、3σ原则的应用

7．（22-23高二下·内蒙古赤峰·）据统计2023年“五一”假期哈尔滨太阳岛每天接待的游客人数X服从正态分布，则在此期间的某一天，太阳岛接待的人数不少于1800的概率为（????）

附：，，，

A．0.4987 B．0.8413 C．0.9773 D．0.9987

8．（22-23高二下·广东广州·期末）某区进行高二数学期末调研测试，数学测试成绩，如果按照16%，34%，34%，16%的比例将考试成绩由高到低分为A，B，C，D四个等级，则A等级的分数线应该是（????）

参考数据：若，则，.

A．69 B．81 C．87 D．96

9．（22-23高二下·浙江温州·期中）红外体温计的工作原理是通过人体发出的红外热辐射来测量体温的，有一定误差．用一款红外体温计测量一位体温为36.9℃的人时，显示体温X服从正态分布，若X的值在内的概率约为0.9973，则n的值约为（????）

参考数据：若，则．

A．3 B．4 C．5 D．6

题型四：正态分布的对称性求参数

10．（23-24高二上·河南南阳·期末）某班有45名学生，最近一次的市联考数学成绩服从正态分布，若的学生人为18，则（????）

A．0.2 B．0.25 C．0.3