第02讲 导数与函数的单调性（教师版）.docx

第02讲导数与函数的单调性

（5类核心考点精讲精练）

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例

考点分析

关联考点

2024年新I卷，第10题,6分

利用导数求函数的单调区间

求已知函数的极值点

2024年新I卷，第18题,17分

利用导数求函数的单调性

证明函数的对称性

利用导数证明不等式

利用导数研究不等式恒成立问题

利用不等式求取值范围

2024年新Ⅱ卷，第11题,6分

利用导数研究具体函数单调性

函数对称性的应用

极值与最值的综合应用

利用导数研究函数的零点

判断零点所在的区间

2024年新Ⅱ卷，第16题,15分

利用导数研究含参函数单调性

求在曲线上一点处的切线方程

根据极值求参数

2023年新I卷，第19题,12分

含参分类讨论求函数的单调区间

利用导数研究不等式恒成立问题

2023年新Ⅱ卷，第22题,12分

利用导数求函数的单调区间

(不含参)

利用导数研究不等式恒成立问题

利用导数研究函数的零点

根据极值点求参数

2022年新I卷，第7题,5分

用导数判断或证明已知函数的单调性

比较指数寡的大小

比较对数式的大小

2022年新Ⅱ卷，第22题,12分

含参分类讨论求函数的

单调区间

利用导数研究不等式恒成立问题

裂项相消法求和

2021年新I卷，第22题,12分

利用导数求函数的单调区间

(不含参)

利用导数证明不等式

导数中的极值偏移问题

2021年新Ⅱ卷，第22题,12分

含参分类讨论求函数的单调区间

利用导数研究函数的零点

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较大，分值为13-17分

【备考策略】1.理解函数的单调性与导数之间的关系

2能利用导数研究函数的单调性，并会求单调区间

3.能够利用导数解决与函数单调性的综合问题

【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般会在解答题考查，同时小题也会考查用导数判断函数单调性，且近年来导数和其他版块知识点关联密集，是新高考备考的重要内容。

知识讲解

导函数与原函数的关系

条件

恒有

结论

函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导

＞0

f(x)在(a，b)上单调递增

＜0

f(x)在(a，b)上单调递减

＝0

f(x)在(a，b)上是常数函数

利用导数判断函数单调性的步骤

第1步，确定函数的定义域；

第2步，求出导函数f′(x)的零点；

第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性.

[常用结论]

1.若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则x∈(a，b)时，恒成立.

2.若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，＞0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，＜0有解.

考点一、函数与导函数图象之间的关系

1．（浙江·高考真题）函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】原函数先减再增，再减再增，且位于增区间内，因此选D．

【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与轴的交点为，且图象在两侧附近连续分布于轴上下方，则为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数的正负，得出原函数的单调区间．

2．（全国·高考真题）已知函数的导函数的图像如下图，那么的图像可能是（）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小可得答案.

【详解】

因为，的导数大于零，因此，，单调递增，

又，的导数表示曲线与的曲线上任一点切线的斜率，

是单调递减的，故增的慢，

是单调递增的，故增的快，排除A、C，

又，即与在的切线是平行的，排除B．

故选：D.

1．（浙江·高考真题）设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】解析：检验易知A、B、C均适合，不存在选项D的图象所对应的函数，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=f′（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数，故选D．

2．（浙江·高考真题）是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能是下列选项中的（????）

??

A．??B．??C．?? D．??

【答案】C

【分析】根据导函数的正负与原函数单调性的关系，结合图象进行判断即可.

【详解】由导函数的图象可知：当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增，只有选项C符合，

故选：C

3．（江西·高考真题）已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），