第04讲 空间中的垂直关系（线线垂直、线面垂直、面面垂直）（学生版）.docx

第04讲空间中的垂直关系

（线线垂直、线面垂直、面面垂直）

（10类核心考点精讲精练）

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例

考点分析

关联考点

2024年新I卷，第17题,15分

证明面面垂直

证明线面平行

由二面角大小求线段长度

2024年新Ⅱ卷，第17题,15分

证明线面垂直

线面垂直证明线线垂直

求平面的法向量

面面角的向量求法

2023年新Ⅱ卷，第20题,12分

证明线面垂直

线面垂直证明线线垂直

面面角的向量求法

2021年新I卷，第20题,12分

线面垂直证明线线垂直

面面垂直证线面垂直

锥体体积的有关计算

由二面角大小求线段长度或距离

2021年新Ⅱ卷，第10题,5分

证明线面垂直

线面垂直证明线线垂直

求异面直线所成的角

2021年新Ⅱ卷，第19题,12分

证明面面垂直

面面角的向量求法

2020年新I卷，第20题,12分

证明线面垂直

线面角的向量求法

2020年新I卷，第20题,12分

证明线面垂直

线面角的向量求法

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等偏难，分值为5-15分

【备考策略】1.熟练掌握线面垂直的判定定理和性质定理及其应用

2.熟练掌握面面垂直的判定定理和性质定理及其应用

【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般在解答题中考查线面垂直、面面垂直的判定及其性质，需强化巩固复习.

知识讲解

空间中的垂直关系

线线垂直

①等腰三角形（等边三角形）的三线合一证线线垂直

②勾股定理的逆定理证线线垂直

③菱形、正方形的对角线互相垂直

线面垂直的判定定理

判定定理：一直线与平面内两条相交直线垂直，则线面垂直

图形语言

符号语言

线面垂直的性质定理

性质定理1：一直线与平面垂直，则这条直线垂直于平面内的任意一条直线

图形语言

符号语言

性质定理2：垂直于同一个平面的两条直线平行

图形语言

符号语言

面面垂直的判定定理

判定定理：一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，则两个平面垂直

（或：一个平面经过另一个平面的垂线，则面面垂直）

图形语言

符号语言

面面垂直的性质定理

性质定理：两平面垂直，其中一个平面内有一条直线与交线垂直，则这条直线垂直于另一个平面

图形语言

符号语言

考点一、线面垂直判定定理（特殊图形）

1．（23-24高三上·上海闵行·期中）正四棱锥中，，，其中为底面中心，为上靠近的三等分点．

(1)求证：平面；

(2)求四面体的体积．

2．（22-23高二下·湖南郴州·期末）如图，直三棱柱中，是边长为的正三角形，为的中点．

（1）证明：平面；

（2）若直线与平面所成的角的正切值为，求平面与平面夹角的余弦值．

1．（22-23高二上·北京·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，为的中点．

(1)求证：平面PAC；

(2)若点是棱的中点，求证：平面PAE．

2．（2024·新疆喀什·三模）如图，在正四棱台中，，，是的中点．

(1)求证：直线平面BDD1

(2)求直线与平面所成角的正弦值

考点二、线面垂直判定定理（三线合一）

1．（2024·陕西榆林·一模）在三棱锥中，为的中点.

(1)证明：⊥平面.

(2)若，平面平面，求点到平面的距离.

2．（2024·全国·模拟预测）如图，在三棱锥中，点为棱的中点，点为的中点，，，都是正三角形．

(1)求证：AO⊥平面；

(2)若三棱锥的体积为，求三棱锥的表面积．

1．（2024·青海·二模）如图，在三棱柱中，所有棱长均相等，，，.

??

(1)证明；AO⊥平面.

(2)若二面角的正弦值.

2．（2023·陕西西安·三模）如图，在三棱柱中，平面ABC，D，E分别为AC，的中点，，．

(1)求证：平面；

(2)求点D到平面ABE的距离．

考点三、线面垂直判定定理（勾股定理、余弦定理）

1．（2023·北京·高考真题）如图，在三棱锥中，平面，．

??

(1)求证：平面PAB；

(2)求二面角的大小．

2．（2024·海南·模拟预测）如图，已知线段为圆柱OO1的三条母线，AB为底面圆的一条直径，是母线的中点，且.

(1)求证：A1O⊥

(2)求平面与平面的夹角的余弦值.

1．（2024·广西·模拟预测）如图，在四棱锥中，，，四边形是菱形，，是棱上的动点，且.

??

(1)证明：平面.

(2)是否存在实数，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

??

2．（2024·重庆·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面为等边三角形，，点为棱上的动点．

(1)证明：DC⊥平面；

(2)当二面角的大小为时，求线段的长度．

3．（23-24高一下·浙江宁波·期中）如图，已知三棱台的体积为，平面平面，是以为直角顶点的等腰直角三角形，且，

??

(1)证明：平面；

(2)求点到面的距离