计算机控制系统3教案.docx

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第3章 z 变换

要研究一个实际的物理系统，首先要解决它的数学模型和分析工具问题。计算机控制系统是一种采样控制系统，即离散系统。表3.1列出了线性连续控制系统与线性离散控制系统的研究方法对照表。

表3.1分析方法对照表

线性连续控制系统

线性离散控制系统

微分方程

差分方程

拉氏变换

Z变换

传递函数

脉冲传递函数

状态方程

离散状态方程

由以上说明可知，Z变换是分析离散系统的重要数学工具，而且具有许多类似于拉普拉斯变换性质的数学变换。与拉普拉斯变换的主要区别是，它并不对连续函数f(t)进行运算，而是对离散函数f*(t)进行运算。因而本章内容是介绍Z变换的定义、性质以及Z反变换等。为下列章节学习奠定基础。

Z变换定义

Z变换定义及表达式

连续信号f(t)的拉普拉斯变换F(s)是复变量的代数函数。

对计算机控制系统中的采样信号f*(t)也可以进行拉普

拉斯变换。连续信号f(t)通过采样周期为T的理想采样后的采样信号f*(t)是一组加权理想脉冲序列，每个采样时刻的脉冲强度等于该采样时刻的连续函数值，由（2.2）式可知

f*(t)?

f(0)?(t)?

f(T)?(t?T)?

f(2T)?(t?2T)??

（3.1）

因为?(t?kT)的拉氏变换为

L

（3.2）

[?(t

?kT)]?

e?kTs

所以式（3.1）的拉普拉斯变换式为

F*(s)?

f(0)?

f(T)e?Ts?

f(2T)e?2Ts??

???

?

k?0

f(kT)e?kTs

（3.3）

从（3.3）式明显看出，F*(s)是s的超越函数，因此，用拉普拉斯变换这一数学工具，无法使问题简化，为此，引入另一复变量“z”,令

z?eTs

（3.4）

代入（3.3）式，得

F(z)?f(0)?f(T)z?1?

?

f(2T)z?2??

（3.5）

??f(kT)z?k

k?0

（3.5）式是f*(t)的单边Z变换。若（3.5）式中流动变量k从－∞→＋∞，则称为双边Z变换。由于控制系统中研究的信号都是从研究时刻t?0开始算起，所以使用的都是单边Z变换,这里简称为Z变换。表示f*(t)的Z变换式符号有多种，如F(z)、

Z[f*(t)]、f*(s)s?(1/T)lnz、Z[f(t)]、Z[F(s)]、Z[F*(s)]

等等，但它

们都表示同一个概念，都是指对脉冲序列函数的Z变换。

（3.1）式、（3.3）式和（3.5）式在形式上完全相同，

都是多项式之和，对应的加权系数相等，在时域中的

?(t?T)、S域中的e?Ts以及Z域中的z?1均表示信号延迟一拍。

在实际应用中，所遇到的采样信号的Z变换幂级数在

收敛域内都对应有一个闭合形式，其表达式是一个“z”的有理式

K(zm?d zm?1???dz?d)

10F(z)???m?1 1 0

1

0

（3.6）

zn?c

n?1

zn?1???cz?c

若用zn同除分子和分母，可得“z?1”的有理分式,即

K(z?n?m???d

z?n?1?d

z?n)

10F(z)???1 0

1

0

（3.7）

1?c

n?1

z?1???c

z?n?1?c

z?n

在讨论系统动态特性时,Z变换式写成因子形式更为有用，式（3.7）可以改写成

F(z)?

（3.8）

KN(z)?

D(z)

K(z?z1)?(z?zm）

(z?p1)?(z?pn)

其中z1,?,zm；p1,?,pn分别是F(z)的零点和极点。

简单函数的Z变换

下面，我们将讨论几个简单函数的Z变换。值得注意的是，我们假设函数在t?0时不连续,而t?0时函数是连续的。在此情况下，我们设定f(0)?f(0?)，而不是间断点的平均值

[f(0?)?f(0?)]/2。

单位脉冲函数

表达式

求f(t)的Z变换。

?1

f(t)??(t)??

?0

t?0

t?0

? ?1

k?0

因为

根据Z变换定义

(kT)??

?0

k?0

?F(z)?Z[?(t)]???(kT)z?k?1

?

k?0