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《余弦定理1》自主学习任务单

一、学习目标

1．掌握余弦定理推导过程，会利用余弦利用余弦定理证明简单三角形问题；

2．会利用余弦定理求解简单斜三角形边角问题；

3．通过三角函数、余弦定理、向量数量积等多处知识间联系，来体现事物之间的普遍联系与辩证统一．

二、学习过程

（一）自主阅读本课内容，逐条概括本课内容的要点．

问题1回忆利用向量法将等式转化为数量关系，从而推出正弦定理，还有其他途径将向量等式数量化吗？（思考并推导余弦定理）

问题2余弦定理的内容是什么？

问题3你还能想出其他方法证明余弦定理吗？譬如建立坐标系、几何法，请你尝试一下？

（二）再读本课内容，构建本课知识体系．

问题4请同学们尝试利用思维导图的形式，画出知识要点间的联系，建构知识体系．

思考总结：

余弦定理证明三种途径：向量法、解析法和几何法；

在中，是直角，是锐角，是钝角．

3．利用余弦定理，可以解决两类三角形问题

（1）已知三边，求三个角；

（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．

（三）重点突破

题型一运用余弦定理求三角形中的边和角

例1（1）在中，，求．

（2）在中，，求这个三角形的最大角．

分析：（1）直接利用公式；（2）先判断哪个角最大，再选择利用哪个公式解答．

变题在中，，求．

分析：已知两边加一角，合理选择余弦定理的形式，先求边后求角，请你尝试．

思考：本例题运用了本课的哪一知识？例题的功能是什么？

题型二运用余弦定理解决与三角形性质有关的问题

例2（1）在中，已知，求角．

（2）在中，，求角．

分析：（1）直接展开结合定理内容，即可得到解决；

（2）由，即可得到角的正切值，即可解决问题．

变题在中，三边之比为，求最大角．

分析：引入中间参数，可设，已知三边求角就迎刃而解．

例3已知方程的两根之积等于两根之和，且为的两边，为两内角，试判定这个三角形的形状．

分析：直接利用条件建立等量关系，考虑从边的角度判断三角形形状，利用余弦定理代入化简即可得到，能否考虑从角度着手，请同学们尝试．

变题已知钝角三角形三边为，其中最大角不超过，求实数的取值范围．

分析：直接利用条件建立不等关系即可解决，但不要忽略本身构成三角形的条件．

思考：上面两个例题间有什么关系？怎样灵活运用余弦定理及变形进行解题的？

（四）反思总结

问题1余弦定理怎样推导？你考虑出几种方法，尝试了吗？

问题2余弦定理变形运用灵活吗？能解决三角形中的几类问题？

三、效果检测

1．课堂检测

（1）在中，若，则的最小内角；

（2）在中，若，求；

（3）在中，若，为边上的高，则的长．

2．请同学们思考：课后练习题与例题间有什么不同？课后练习题有什么作用？

《余弦定理1》自主学习任务单参考答案

例1（1）

（2）等腰

变题根据余弦定理，得

所以；

又

所以

例2（1）由得，，

因为，所以.

（2）由，得，

因为，.

变题

例3由，所以，

所以，化简得，所以为等腰三角形.

变题所以.

课堂检测

（1）解析：，所以；

（2）；

（3）解析：因为，所以，

所以.