2025年北师大版高中数学必修第二册第二章平面向量及其应用第4节平面向量基本定理及坐标表示第1课时平面向量基本定理.pptxVIP

第二章平面向量及其应用;§4平面向量基本定理及坐标表示

4.1平面向量基本定理;必备知识探新知;素养目标定方向;课标要求;必备知识探新知;知识点平面向量基本定理

1．定理：如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么该平面内任意一个向量a，存在唯一的一对实数λ1，λ2，使a＝_____________.

2．基：把不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基，记为__________.

3．正交基：若基中的两个向量_________，则称这组基为正交基．

4．正交分解：在________下面向量的线性表示称为正交分解．

5．标准正交基：若基中的两个向量是互相垂直的_____向量，则称这组基为标准正交基．;关键能力攻重难;1.(多选)若e1，e2是平面α内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是()

A．λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量

B．对于平面α中的任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数λ，μ有无数多对

C．λ1，μ1，λ2，μ2均为实数，且向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)

D．若存在实数λ，μ，使λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0;【分析】根据平面向量基本定理结合线性运算分析判断．

【答案】BC

【解析】由题意可知：e1，e2可以看成一组基底向量，根据平面向量基本定理可知：A，D正确，B不正确；当λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，则λ1e1＋μ1e2＝λ2e1＋μ2e2＝0，此时任意实数λ均有λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)，故C不正确；故选BC.;归纳提升：

(1)对于平面内任一向量都可以用两个不共线的向量来表示；反之，平面内的任一向量也可以分解成两个不共线的向量的和的形式．

(2)向量的基底是指平面内不共线的两个向量，事实上若e1，e2是基底，则必有e1≠0，e2≠0且e1与e2不共线，如0与e1，e1与2e1，e1＋e2与2(e1＋e2)等，均不能构成基底．;〉对点训练1;题型二;【分析】用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则．

【答案】(1)①②③(2)见解析;?[归纳提升];归纳提升：

用基底表示向量的三个依据和两个“模型”

(1)依据：①向量加法的三角形法则和平行四边形法则；

②向量减法的几何意义；

③??乘向量的几何意义．;(2)模型：

;〉对点训练2;3.如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值．;?[归纳提升];归纳提升：

(1)平面向量基本定理唯一性的应用

;(2)重要结论：设e1，e2是平面内一组基底，

;〉对点训练3;课堂检测固双基;【答案】D;【答案】C;3．已知e1，e2不共线，且a＝ke1－e2，b＝e2－e1，若a，b不能作为基底，则k等于__________.

【答案】1;4．已知向量{a，b}是一个基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y＝_________.

【答案】3;