2025年北师大版高中数学必修第二册第一章三角函数第3节弧度制.docVIP

第一章§3

素养作业提技能

A组·素养自测

一、选择题

1．下列说法中，错误的是()

A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位

B．1°的角是周角的eq\f(1,360)，1rad的角是周角的eq\f(1,2π)

C．1rad的角比1°的角要大

D．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关

【答案】D

【解析】由角度制和弧度制的定义，知A，B，C说法正确；用弧度制度量角时，角的大小与所对圆弧长与半径的比有关，而与圆的半径无关，故D说法错误．

2．在半径为10的圆中，eq\f(4π,3)的圆心角所对弧长为()

A．eq\f(40π,3) B．eq\f(20π,3)

C．eq\f(200π,3) D．eq\f(400π,3)

【答案】A

【解析】由于r＝10，α＝eq\f(4π,3)，所以弧长l＝r·α＝eq\f(40π,3).

3．若α＝5rad，则角α的终边所在的象限为()

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【解析】∵eq\f(3π,2)52π，∴α＝5rad为第四象限角，其终边位于第四象限．

4．将－1485°化成α＋2kπ(0≤α2π，k∈Z)的形式是()

A．－eq\f(π,4)－8π B．eq\f(7,4)π－8π

C．eq\f(π,4)－10π D．eq\f(7,4)π－10π

【答案】D

【解析】∵－1485°＝－5×360°＋315°，

又2πrad＝360°，315°＝eq\f(7,4)πrad.

故－1485°化成α＋2kπ(0≤α2π，k∈Z)的形式是eq\f(7,4)π－10π.

5．若角α的终边落在如图所示的阴影部分内，则角α的取值范围是()

A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))

B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，\f(7π,6)))

C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，\f(7π,6)))

D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(2π,3)，2kπ＋\f(7π,6)))(k∈Z)

【答案】D

【解析】阴影部分的两条边界分别是eq\f(2π,3)和eq\f(7π,6)角的终边，所以α的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(2π,3)，2kπ＋\f(7π,6)))(k∈Z)．

6．若弧度数为2的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所夹扇形的面积是()

A．tan1 B．eq\f(1,sin1)

C．eq\f(1,sin21) D．eq\f(1,cos1)

【答案】C

【解析】如右图所示，设∠AOB＝2，AB＝2.过点O作OC⊥AB于C，延长OC交eq\o\ac(AB,\s\up10(︵))于D，则∠AOD＝eq\f(1,2)∠AOB＝1，AC＝eq\f(1,2)AB＝1.

在Rt△AOC中，OA＝eq\f(AC,sin∠AOC)＝eq\f(1,sin1).

∴扇形的面积S＝eq\f(1,2)×2×eq\f(1,sin21)＝eq\f(1,sin21).

二、填空题

7．将－1360°表示成2kπ＋α(0≤α2π，k∈Z)的形式为__________.

【答案】－8π＋eq\f(4π,9)

【解析】∵－1360°＝－4×360°＋80°，而80°＝eq\f(4π,9)，

∴应填－8π＋eq\f(4π,9).

8.如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝eq\f(π,6)，则劣弧eq\o\ac(AB,\s\up10(︵))的长为________.

【答案】eq\f(4π,3)

【解析】连接AO，OB，因为∠ACB＝eq\f(π,6)，所以∠AOB＝eq\f(π,3)，又OA＝OB，所以△AOB为等边三角形，故圆O的半径r＝AB＝4，劣弧eq\o\ac(AB,\s\up10(︵))的长为eq\f(π,3)×4＝eq\f(4π,3).

9．中国折扇有着深厚的文化底蕴，这类折扇上的扇环部分的作品构思奇巧，显出清新雅致的特点．已知某扇形的扇环如图所示，其中外弧线的长为50cm，内弧线的长为15cm，连接外弧与内弧的两端的线段的长均为14cm，则该扇环的面积为________cm2.

【答案】455

【解析】如图，作出包含扇环ABDC的两个扇形OAB和OCD，依题意，eq\o\ac(CD,\s\up10(︵))的