随机过程与排队论.ppt

计算机科学与工程学院顾小丰解设8:00为t=0，11:00为t=3，13:00为t=5，17:00为t=9，第二天8:00可以为t=9。于是，顾客到达率是周期为9的函数：?(t)＝?(t-9)根据题意，在[0,t)内到达的顾客数{N(t),t?0}是一个非齐次泊松过程。在8:30到9:30无顾客到达商店的概率为在8:30到9:30到达商店的顾客均值为计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰随机过程与排队论计算机科学与工程学院顾小丰Email：*计算机科学与工程学院顾小丰01独立增量过程正态过程维纳过程02上一讲内容回顾本讲主要内容计算机科学与工程学院顾小丰泊松过程泊松过程的两个定义及其等价性泊松过程的概率分布泊松过程的数字特征泊松过程的性质非齐次泊松过程复合泊松过程更新计数过程3.泊松过程计算机科学与工程学院顾小丰泊松过程是一种很重要的计数过程，它在随机过程的理论和应用方面都起着重要的作用，特别在运筹学和排队论中的作用更为显著。泊松过程的实例很多，例如：在[0,t)时间内，到达某超级市场的顾客数N(t)；某电话交换台的呼唤数N(t)；某车间发生故障的机器数N(t)；某计数器接受到的粒子数N(t)；某通信系统出现的误码数N(t)；等等，{N(t),t?0}都是泊松过程的典型实例。计算机科学与工程学院顾小丰对任意0?st,N(t)-N(s)服从参数为?(t-s)泊松分布，即如果取非负整数值的计数过程{N(t),t?0}满足：N(0)＝0；具有独立增量；则称{N(t),t?0}为参数(或平均率、强度)为?的(齐次)泊松过程。泊松过程的定义1泊松过程的定义2计算机科学与工程学院顾小丰如果取非负整数值得计数过程{N(t),t?0}满足下列条件：N(0)＝0；具有平稳独立增量；P{N(h)=1}＝?h+o(h)；P{N(h)?2}＝o(h)则称{N(t),t?0}为参数(或平均率、强度)为?的(齐次)泊松过程。即d)。计算机科学与工程学院顾小丰证明1?2：条件a)与1)相同。条件b)可由2)和3)直接得到。P{N(h)=1}＝P{N(h)-N(0)=1}＝定理泊松过程的定义1与定义2是等价的。＝?h[1-?h+o(h)]＝?h+o(h)即c)。等价定理证明计算机科学与工程学院顾小丰2?1：条件1)与a)相同。条件2)由b)直接得到。只要证明：N(t)(t?0)服从参数为?t泊松分布。设pk(t)＝P{N(t)=k}，利用归纳法证明：(1)k=0，p0(t+h)＝P{N(t+h)=0} ＝P{N(t)=0,N(t+h)-N(t)=0} ＝P{N(t)=0}P{N(t+h)-N(t)=0}解得：p0(t)＝e-?t。独立增量过程平稳性＝P{N(t)=0}P{N(h)=0}＝p0(t)[1-?h+o(h)]因为计算机科学与工程学院顾小丰k?1pk(t+h)＝P{N(t+h)=k}＝pk(t)[1-?h+o(h)]+pk-1(t)[?h+o(h)]+o(h)，证明(续1)证明(续2)计算机科学与工程学院顾小丰k=1时,解得：p1(t)＝?te-?t，所以k=1时结论成立。假设k-1时结论成立，解得结论成立。由归纳法知，对一切k=0,1,2,…，结论成立。得证再由平稳独立增量性质，对一切0?st,得出3)。■泊松过程的概率分布和数字特征计算机科学与工程学院顾小丰一维概率分布及均值和方差函数对任意t0,N(t)～?(?t), P{N(t)=k}＝均值函数 m(t)＝E[N(t)]＝?t；方差函数 D(t)＝D[N(t)]＝?t。一维特征函数二维概率分布计算机科学与工程学院顾小丰sP{N(s)=j,N(t)=k}＝P{N(s)-N(0)=j,N(t)-N(s)=k-j}＝P{N(s)=j}·P{N(t-s)=k-j}独立增量过程泊松过程的概率分布和数字特征泊松过程的概率分布和数字特征计算机科学与工程学院顾小丰协方差函数和相关函数协方差函数 C(s,t)＝?min(s,t)，相关函数 R(s,t)＝?min(s,t)＋?2st。证明R(s,t)＝E[N(s)N(t)] ＝E