第07讲 函数与方程（十一大题型）（练习）（解析版）.docx

第07讲函数与方程

目录

TOC\o1-2\h\z\u模拟基础练 2

题型一：求函数的零点或零点所在区间 2

题型二：利用函数的零点确定参数的取值范围 3

题型三：方程根的个数与函数零点的存在性问题 5

题型四：嵌套函数的零点问题 7

题型五：函数的对称问题 10

题型六：函数的零点问题之分段分析法模型 14

题型七：唯一零点求值问题 16

题型八：分段函数的零点问题 18

题型九：零点嵌套问题 21

题型十：等高线问题 24

题型十一：二分法 28

重难创新练 31

真题实战练 45

题型一：求函数的零点或零点所在区间

1．（2024·高三·北京东城·开学考试）已知函数则函数的零点为

【答案】

【解析】当时，由，即，解得或（舍），

当时，由，解得，

综上可得，函数的零点为．

故答案为：．

2．（2024·高三·浙江宁波·期末）函数的零点所在区间为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由已知，可知为增函数，

且，

，

根据零点存在定理，函数在有零点，且零点是唯一的.

故选：B

3．函数的零点所在的大致区间是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】的定义域为，

又与在上单调递增，

所以在上单调递增，

又，，

所以，

根据函数零点存在性定理可得函数的零点所在的大致区间为，

故选：B.

4．（2024·高三·江苏常州·开学考试）已知函数则函数的所有零点构成的集合为．

【答案】

【解析】函数的零点，即方程的所有根，

令，根据函数，方程的解是，

则方程的根，即为方程的根，

当时，，由，，

当时，，由，，

综上，函数所有零点构成的集合是.

故答案为：.

题型二：利用函数的零点确定参数的取值范围

5．（2024·高三·广东深圳·期末）已知函数在内有零点，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】是增函数，也是增函数，所以是上的增函数.

因为在内有零点，

所以，解得.

故选：A

6．（2024·宁夏银川·三模）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】若函数在区间上存在零点，

由函数在的图象连续不断，且为增函数，

则根据零点存在定理可知，只需满足，

即，

解得，

所以实数的取值范围是.

故选：D.

7．（2024·高三·内蒙古呼和浩特·开学考试）若函数存在1个零点位于内，则a的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】若函数存在1个零点位于内，

单调递增,又因为零点存在定理，

.

故选：A.

8．函数的一个零点在区间内，则实数a的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】因为函数，在上单调递增，

所以函数在上单调递增，

由函数的一个零点在区间内得，

解得，

故选：A

9．已知函数的零点位于区间内，则整数（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】因为函数与在上均为增函数，

所以函数在上为增函数，

因为，，，

所以函数的零点位于区间内，故.

故选：B.

题型三：方程根的个数与函数零点的存在性问题

10．函数的零点个数为

【答案】6

【解析】，故，

画出和，两函数交点个数即为的零点个数，

由图象可得，共6个交点，所以的零点个数为6.

故答案为：6

11．已知函数，则方程的解的个数是.

【答案】4

【解析】依题意可得，，

当时，由得；

当时，由，即，得；

当时，由，即，得；

当时，由，即，得.

综上可得，方程有4个实数根，

故答案为：4

12．（2024·青海西宁·二模）记是不小于的最小整数,例如,则函数的零点个数为.

【答案】3

【解析】令,则,

令,

则与的交点个数即为的零点个数,

当时,,

又,

所以是周期为1的函数,

在上单调递减,且,

所以可作出与的图象如图,

所以与有3个交点，故的零点个数为3,

故答案为：3.

13．函数在区间上有零点，则实数的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】当时，，不合乎题意.

当时，由于函数、在上均为增函数，

此时函数在上为增函数.

当时，由于函数、在上均为减函数，

此时函数在上为减函数.

因为函数在区间上有零点，则，

即，解得.

故选：D.

题型四：嵌套函数的零点问题

14．已知函数,若关于的方程恰有5个不同的实数解，则实数的取值集合为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】作出函数的大致图象，如图所示，

令，则可化为

，

则或，

则关于的方程恰有5个不同的实数解等价于的图象与直线，的交