第11讲 函数的奇偶性及函数性质综合（人教A版2019必修第一册）（解析版）.docx

第11讲函数的奇偶性及函数性质综合

【人教A版2019】

·模块一函数的奇偶性

·模块二函数的图象

·模块三课后作业

模块一

模块一

函数的奇偶性

1．函数的奇偶性

(1)定义：

定义

偶函数

一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果x∈I，都有-x∈I，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数.

奇函数

一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果x∈I，都有-x∈I，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)叫做奇函数.

非奇非

偶函数

既不是奇函数又不是偶函数的函数，称为非奇非偶函数.

定义域

特征

定义域必须是关于原点对称的区间.

等价

形式

设函数f(x)的定义域为I，则有f(x)是偶函数?x∈I，-x∈I，且

f(-x)-f(x)=0；f(x)是奇函数?x∈I，-x∈I，且f(-x)+f(x)=0.特别地，若f(x)≠0，还可以判断是否成立.

(2)奇偶函数的图象特征（几何意义）

①奇函数的图象特征：若一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，若一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.

②偶函数的图象特征：若一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.

③奇偶函数的结论：奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数.

(3)奇、偶函数图象对称性的应用

①若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数；

②若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.

2．函数奇偶性的判断

判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：

(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；

(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.

3．函数奇偶性的应用

(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.

(2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.

【考点1函数奇偶性的判断】

【例1.1】（23-24高一上·河北石家庄·期中）下列函数中的奇函数是（????）

A．y=3x2 B．y=πx

【解题思路】根据题意，结合函数的奇偶性的定义和判定方法，即可求解.

【解答过程】对于A中，函数fx=3x2的定义域为

所以函数fx

对于B中，函数fx=π

且f-

对于B中，函数fx=|x|的定义域为

所以函数fx

对于B中，函数fx=x(

故选：B.

【例1.2】（23-24高一上·北京·期中）下列函数中，既是奇函数，又在区间0,+∞上是减函数的是（????

A．y=x B．y=x3 C

【解题思路】利用基本初等函数的奇偶性和单调性逐项判断，可得出合适的选项.

【解答过程】对于A选项，设fx=x，该函数的定义域为R

所以，函数y=x为偶函数，且当x0时，y=x，即函数y

对于B选项，函数y=x3为奇函数，且该函数在0,+

对于C选项，函数y=x2为偶函数，且该函数在0,+

对于D选项，函数y=-3x为奇函数，且该函数在0,+∞上为减函数，

故选：D.

【变式1.1】（23-24高三上·安徽·阶段练习）函数f(x)=

A．f(x+2)-1

C．f(x+1)+2

【解题思路】由函数图象的平移变换结合奇函数定义可解.

【解答过程】f(x)=

故将f(x)的图像向左平移1

（事实上f(

故选：B.

【变式1.2】（23-24高一上·云南·期末）若fx是定义在R上的函数，则下列选项中一定是偶函数的是（????

A．fx B．fx C．3f

【解题思路】根据判断函数为奇偶函数的定义及奇偶函数的性质逐项判断即可求解.

【解答过程】对A：f(x)不知奇偶性，因此f(-x)与f(

对B：由题意知函数fx的定义域为R，且f(|-x|)=f

对B：3f(x)也不知其奇偶性，因此3f

对D：f(x)-f(-x

故选：B．

【考点2由函数奇偶性求函数值、解析式】

【例2.1】（23-24高一上·山东济宁·期中）已知函数fx是定义域为R的奇函数，当x≤0时，fx=x2+

A．fx=-x

C．fx=x

【解题思路】根据函数的奇偶性求得正确答案.

【解答过程】fx是定义域为R

当x0