第11讲 相关定理在解三角形中的综合应用（高阶拓展、竞赛适用）（学生版）.docx

相关定理在解三角形中的综合应用

（高阶拓展、竞赛适用）

（8类核心考点精讲精练）

命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等，分值为13-15分

【备考策略】1.掌握正余弦定理在三角形中的应用、熟练掌握面积公式的应用

2能熟练掌握解三角形中的相关定理公式进行综合应用

【命题预测】本节内容是在新高考卷的命题考查为解答题，常考查相关定理公式综合，需备考综合复习

知识讲解

海伦-秦九韶公式

三角形的三边分别是a、b、c，

则三角形的面积为

其中，这个公式就是海伦公式，为古希腊的几何学家海伦所发现并证明。

我国南宋的秦九韶也曾提出利用三角形三边求三角形面积的秦九韶公式:

三倍角公式

，

射影定理

，，

角平分线定理

（1）在中，为的角平分线，则有

（2）

（3）（库斯顿定理）

（4）

张角定理

倍角定理

在中,三个内角的对边分别为,

(1)如果,则有:

(2)如果,则有:

(3)如果,则有:

倍角定理的逆运用

在中,三个内角A、B、C的对边分别为,

(1)如果,则有:。

(2)如果,则有:。

(3)如果,则有:。

中线长定理

为的中线,则中线定理:

证明:

在和中,用余弦定理有:

三角恒等式

在中，

①；

②；

③；

④；

⑤；

⑥；

⑦；

⑧；

⑨；

⑩。

考点一、海伦-秦九韶公式及其应用

1．（2024·浙江湖州·模拟预测）若一个三角形的三边长分别为a，b，c，设，则该三角形的面积，这就是著名的“海伦-秦九韶公式”若的三边长分别为5，6，7，则该三角形的面积为．

2．（2023·江苏·三模）海伦（Heron，约公元1世纪）是古希腊亚历山大时期的数学家，以他的名字命名的“海伦公式”是几何学中的著名公式，它给出了利用三角形的三边长a，b，c计算其面积的公式S△ABC＝，其中，若a＝5，b＝6，c＝7，则借助“海伦公式”可求得△ABC的内切圆的半径r的值是．

3．（2023·辽宁葫芦岛·二模）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即，现在有周长为的满足，则用以上给出的公式求得的面积为（????）

A． B． C． D．12

4．（23-24高三下·重庆渝中·阶段练习）我国南宋著名数学家秦九韶（约1202～1261）独立发现了与海伦公式等价的由三角形三边求面积的公式，他把这种称为“三斜求积”的方法写在他的著作《数书九章》中．具体的求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从隅，开平方得积．”如果把以上这段文字写成公式，就是．现将一根长为的木条，截成三段构成一个三角形，若其中有一段的长度为，则该三角形面积的最大值为（????）．

A． B． C． D．

1．（22-23高三下·河北·期中）已知中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则的面积，该公式称作海伦公式，最早由古希腊数学家阿基米德得出．若的周长为15，，则的面积为．

2．（2023·浙江·模拟预测）我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形面积的公式.在中，设分别为的内角的对边，S表示的面积，其公式为.若，，，则.

3．（22-23高三上·陕西渭南·阶段练习）我国南宋著名数学家秦九韶发现了“三斜”求积公式，即△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积．若，，则△ABC面积S的最大值为（????）

A． B．1 C． D．

4．（22-23高三上·山东滨州·期中）三角形的三边分别为a，b，c，秦九韶公式和海伦公式，其中，是等价的，都是用来求三角形的面积．印度数学家婆罗摩笈多在公元7世纪的一部论及天文的著作中，给出若四边形的四边分别为a，b，c，d，则，其中，为一组对角和的一半.已知四边形四条边长分别为3，4，5，6，则四边形最大面积为（）

A．21 B． C． D．

考点二、三倍角公式及其应用

1．（2023·全国·高三专题练习）已知的内角，，的对边分别为，，．若，且为锐角，则的最小值为（????）

A． B． C． D．

已知的内角的对边分别为,若,则的最小值为

A.-1B.C.3D.

考点三、射影定