第18讲 函数的零点与方程的解（思维导图+3知识点+6考点+过关检测）（原卷版）.docx

第18讲函数的零点与方程的解

模块一思维导图串知识

模块二基础知识全梳理（吃透教材）

模块三核心考点举一反三

模块四小试牛刀过关测

1．理解函数零点的概念，了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的联系；

2．会求函数的零点；

3．掌握函数零点存在定理并会判断函数零点的个数.

知识点1函数的零点

1、函数零点的概念：对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点．即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值．

【要点辨析】

（1）函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零；

（2）函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标；

（3）函数的零点就是方程的实数根．

2、函数的零点与方程的解的关系

函数的零点就是方程的实数解，也就是函数的图象与轴的公共点的横坐标．所以方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．

知识点2函数零点存在定理

1、函数零点存在定理

如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解．

【要点辨析】

（1）定义不能确定零点的个数；

（2）不满足定理条件时依然可能有零点；

（3）定理中的“连续不断”是必不可少的条件；

（4）定理反之是不成立的．

2、函数零点存在定理的几何意义

在闭区间上有连续不断的曲线，且曲线的起始点与终点分别在轴的两侧，则连续曲线与轴至少有一个交点．

3、函数零点存在定理的重要推论

（1）推论1：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，，且具有单调性，则函数在区间内只有一个零点．

（2）推论2：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，函数在区间内有零点，且函数具有单调性，则．

知识点3函数零点常用方法技巧

1、零点个数的判断方法

（1）直接法：直接求零点，令，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点．

（2）定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间上是连续不断的曲线，且，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．

（3）图象法：

=1\*GB3①单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数．

=2\*GB3②两个函数图象：将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数．

（4）性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数．

2、判断函数零点所在区间的步骤

第一步：将区间端点代入函数求函数的值；

第二步：将所得函数值相乘，并进行符号判断；

第三步：若符号为正切在该区间内是单调函数，则函数在该区间内无零点；

若符号为负且函数图象连续，则函数在该区间内至少一个零点。

3、已知函数零点个数，求参数取值范围的方法

（1）直接法：利用零点存在的判定定理构建不等式求解；

（2）数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围；

（3）分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域（最值）问题求解．

考点一：求函数的零点（方程的根）

例1．（23-24高一上·江苏宿迁·月考）函数的零点为（?????）

A． B． C． D．

【变式1-1】（23-24高一上·福建三明·期中）函数的零点为（????）

A． B． C．0 D．1

【变式1-2】（23-24高一上·福建泉州·月考）函数的零点为（????）

A． B．2 C． D．

【变式1-3】（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知定义在上的是单调函数，且对任意恒有，则函数的零点为（????）

A． B． C．9 D．27

考点二：判断函数零点所在区间

例2.（23-24高一上·河北沧州·期末）函数的零点所在的区间是（????）

A． B． C． D．

【变式2-1】（23-24高一下·四川达州·期中）函数的零点所在区间为（????）

A． B． C． D．

【变式2-2】（23-24高一下·江苏扬州·期末）方程的解所在区间为（????）

A． B． C． D．

【变式2-3】（23-24高一下·浙江湖州·月考）函数的零点所在的一个区间是（????）

A． B． C． D．

考点三：由函数零点所在区间求参数

例3.（23-24高一上·四川雅安·月考）若函数在存在零点，则实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．∪

【变式3-1】（22-23高一下·安徽·期中）函数在区间存在零点．则实数m的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【变式3-2】（22-23高一上·重庆九龙坡·期末）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（????）