第38讲 统计初步与独立性检验(解析版）.docx

第38讲统计初步与独立性检验

【典型例题】

例1．（2024·高三·山东菏泽·阶段练习）下列说法错误的是（????）

A．若随机变量、满足且，则

B．样本数据，，，，，，，，，的第百分位数为

C．若事件、相互独立，则

D．若、两组成对数据的相关系数分别为、，则组数据的相关性更强

【答案】D

【解析】对于A：因为且，所以，故A正确；

对于B：因为，所以第百分位数为从小到大排列的第个数，即为，故B正确；

对于C：若事件、相互独立，则，

所以，故C正确；

对于D：若、两组成对数据的相关系数分别为、，

因为，所以组数据的相关性更强，故D错误.

故选：D

例2．（2024·河北·一模）某校为了解本校高一男生身高和体重的相关关系，在该校高一年级随机抽取了7名男生，测量了他们的身高和体重得下表：

身高（单位：

167

173

175

177

178

180

181

体重（单位：

90

54

59

64

67

72

76

由表格制作成如图所示的散点图：

??

由最小二乘法计算得到经验回归直线的方程为，其相关系数为；经过残差分析，点对应残差过大，把它去掉后，再用剩下的6组数据计算得到经验回归直线的方程为，相关系数为.则下列选项正确的是（????）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】身高的平均数为，

因为离群点的横坐标167小于平均值176，纵坐标90相对过大，

所以去掉后经验回归直线的截距变小而斜率变大，故

去掉后相关性更强，拟合效果也更好，且还是正相关，

，

故选：A．

例3．（2024·宁夏银川·一模）有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：

优秀

非优秀

总计

甲班

10

b

乙班

c

30

合计

附：

P（K2≥k0）

0.05

0.025

0.010

0.005

k0

3.841

5.024

6.635

7.879

已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是（????）

A．列联表中c的值为30，b的值为35

B．列联表中c的值为15，b的值为50

C．根据列联表中的数据，若按97.5%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”

D．根据列联表中的数据，若按97.5%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”

【答案】C

【解析】由题意知，成绩优秀的学生数是，

成绩非优秀的学生数是75，所以，

选项A、B错误；

根据列联表中的数据，

得到

因此有97.5%的把握认为“成绩与班级有关系”.

故C正确，D错误，

故选：C.

例4．（2024·高三·山东·开学考试）为研究某池塘中水生植物的覆盖水塘面积（单位：）与水生植物的株数（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，用模型去拟合与的关系，设与的数据如表格所示：得到与的线性回归方程，则（????）

3

4

6

7

2

2.5

4.5

7

A．-2 B．-1 C． D．

【答案】C

【解析】由已知可得，，，

所以，有，解得，

所以，，

由，得，

所以，，则.

故选：C.

例5．（2024·上海·一模）为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量（单位：克每立方米）与样本对原点的距离（单位：米）的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计量的值．（表中）．

6

97.90

0.21

240

0.14

14.12

26.13

(1)利用相关系数的知识，判断与哪一个更适宜作为平均金属含量关于样本对原点的距离的回归方程类型；

(2)根据（1）的结果建立关于的回归方程，并估计样本对原点的距离米时，平均金属含量是多少？

【解析】（1）因为的线性相关系数，

的线性相关系数，

因为，

所以更适宜作为平均金属含量关于样本对原点的距离的回归方程类型.

（2）依题意，，

则，于是，

所以关于的回归方程为.

当时，金属含量的预报值为.

例6．（2024·河北邯郸·三模）某民营学校为增强实力与影响力，大力招揽名师、建设校园硬件设施，近5年该校招生人数的数据如下表：

年份序号x

1

2

3

4

5

招生人数y/千人

0.8

1

1.3

1.7

2.2

(1)由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以证明；

(2)求关于的回归直线方程，并预测当年份序号为7时该校的招生人数．

参考数据：，，．

参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．

【解析】（1）由题意知，，

，

所以，

因为与1非常接近，故可用线性回归模型拟合与的关系．

（2），，

所以关于的回归直线方程为．

当时，，

由此预测当年份序号为7时该校的招生人数为2.8千人．

例7．（2024·黑龙江·二模）2023年是全面贯彻落实党的二十大精神的开局之年，也是实施“十四五”规划承上启下