线面积分习题课.ppt

思考题二重积分是哪一类积分?设曲面答:第一类曲面积分的特例.问下列等式是否成立?不对!对坐标的积分与?的侧有关添加辅助面的技巧(辅助面一般取平行坐标面的平面)两类曲面积分的转化利用对称性及重心公式简化计算利用高斯公式注意公式使用条件2.基本技巧练习:其中?为半球面的上侧.且取下侧,提示:以半球底面原式=记半球域为?,高斯公式有(1)计算为辅助面,利用例1.证明:设(常向量)则单位外法向向量,试证设?为简单闭曲面,a为任意固定向量,n为?的(L.P314,3;L.P315,4;L.317,6)运行时点击按钮“利用斯托克斯公式”,或“公式”,可显示斯托克斯公式并自动返回.第十章习题课第十章习题课运行时点击“由斯托克斯公式”,或“公式”,可显示斯托克斯公式并自动返回.习题课1.曲线积分的计算法2.曲面积分的计算法线面积分的计算一、曲线积分的计算法1.基本方法曲线积分第一类(对弧长)第二类(对坐标)(1)统一积分变量转化定积分用参数方程用直角坐标方程用极坐标方程(2)确定积分上下限第一类:下小上大第二类:下始上终(1)计算其中L为圆周提示:利用极坐标,原式=说明:若用参数方程计算,则其中L为摆线上对应t从0到2?的一段弧.提示:其中?由平面y=z截球面提示:因在?上有故原式=从z轴正向看沿逆时针方向.(3)利用对称性及重心公式简化计算;利用积分与路径无关的等价条件;利用格林公式(注意加辅助线的技巧);利用斯托克斯公式;利用两类曲线积分的联系公式.2.基本技巧例1已知L的长度为a，求解：即3x2+4y2=12，所以又L关于x轴对称，而sin(xy)关于y为奇函数，所以于是I=12a。又如逆时针方向，则例2.计算其中?为曲线解:利用轮换对称性,有利用重心公式知(?的重心在原点)例3.计算其中L是沿逆时针方向以原点为中心,解法1令则这说明积分与路径无关,故a为半径的上半圆周.解法2它与L所围区域为D,(利用格林公式)思考:(2)若L同例3,如何计算下述积分:(1)若L改为顺时针方向,如何计算下述积分:则添加辅助线段思考题解答:(1)(2)解：L：即。所以例4计算顺时针方向L：注：应充分利用L的方程简化被积函数。例5设L是分段光滑的简单闭曲线，取正向，点（－2，0）和（2，0）不在L上。计算解：((x，y)≠(－2，0)或(2，0))（2）当点(－2，0)和(2，0)一个在D内一个在D外时不妨设(2，0)在D内而(－2，0)在D外。（1）当点(－2，0)和(2，0)均在L所围区域D外时-22OxDL以(2，0)为圆心，充分小的正数ε为半径作圆L1，取正向，则有：L12－2xL（3）当点(－2，0)和(2，0)均在D内时－22xL1LOL2例10设Q(x，y)具有连续的一阶偏导数，曲线积分与路径无关，且对任意的实数t，恒有，求Q(x，y)。解：由积分与路径无关知故其中为待定函数。取折线作为积分路径先积x(t，1)(t，0)(0，0)左端＝由题设有两端对t求导所以右端＝先积x(1，t)(1，0)(0，0)计算其中L为上半圆周提示:沿逆时针方向.(4).设在右半平面x0内,力构成力场,其中k为常数,证明在此力场中场力所作的功与所取的路径无关.提示:令易证F沿右半平面内任意有向路径L所作的功为(5)沿有向闭曲线?所作的求力1功,其中?为平面x+y+z=1被三个坐标面所截成三2提示:3方法14从z轴正向看去沿顺时针方向.5利用对称性6角形的整个边界,7方法2设三角形区域为?,方向向上,则7解二、曲面积分的计算法1.基本方法曲面积分第一类(对面积)第二类(对坐标)转化二重积分(1)统一积分变量—代入曲面方程(2)