10.2 平面向量的数量积（精讲）（学生版） 2024年高考数学一轮复习一隅三反系列（新高考）.pdf

10.2平面向量的数量积（精讲）

一．向量的夹角

→→

1.定义：已知两个非零向量ababa

和，O是平面上的任意一点，作＝，＝，则∠AOB＝θ叫做向量



与b的夹角．

2.范围：向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°．只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角

二．向量的数量积



ababab

已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，把数量||·||·cosθ叫做向量与的数量积(或内积)，记作



ababab

·，即·＝||||cosθ．

规定：零向量与任一向量的数量积为0．

三．投影向量



ab

如图，在平面内任取一点O，作＝，＝，过点M作直线ON的垂线，垂足为M，则1就是向

1



abb

量a在向量b上的投影向量，记为1＝

bb

四．向量数量积的运算律



a·b＝b·a.



(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．



(a＋b)·c＝a·c＋b·c．

五．平面向量数量积的有关结论



已知非零向量a＝(x，y)，b＝(x，y)，a与b的夹角为θ

1122

结论几何表示坐标表示





模|a|＝2＋2

|a|＝aax1y1



ab