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第三章-表示力学量算符-习题答案

3.1算符表示的力学量及其性质

(1)在量子力学中，力学量如位置、动量、能量等，可以通过算符来表示。这些算符具有特定的作用，它们在希尔伯特空间中对波函数进行作用，从而得到力学量的期望值或本征值。算符的表示方式通常与经典物理中的微分方程相对应，但量子力学中的算符通常是非可逆的，并且满足特定的对易关系。

(2)算符的性质决定了它们如何影响波函数。例如，一个算符可能是自伴的，这意味着它与其共轭算符相等，这种性质在量子力学中非常重要，因为它保证了物理量的实数性。此外，算符的可对易性也是研究量子系统动力学的重要依据，因为它与不确定性原理密切相关。通过对易关系的分析，可以揭示量子系统的某些基本性质，如量子态的完备性和不可区分性。

(3)算符的表示不仅取决于力学量的性质，还与量子系统的具体模型有关。例如，在氢原子模型中，位置和动量算符可以通过波函数的偏导数来表示。而在多粒子系统中，算符的表示可能会更加复杂，需要考虑多个粒子之间的相互作用。因此，理解算符的表示和性质对于分析和解决量子力学问题至关重要。

3.2算符的运算规则

(1)算符的运算规则是量子力学中不可或缺的部分，它们决定了算符如何作用于波函数以及如何与其他算符相组合。首先，算符的乘积遵循交换律和结合律，这意味着算符的顺序可以任意交换，只要它们是可交换的。然而，对于不可交换的算符，如位置和动量算符，它们的乘积不满足交换律，这导致了不确定性原理。此外，算符的乘积还可以通过分配律与其他算符相组合，这使得在量子力学中构建复杂的算符成为可能。

(2)在量子力学中，算符的运算规则还包括对易规则，即两个算符对易时，它们的乘积等于乘积的逆序，即\[[A,B]=AB-BA\]。对易关系是量子力学中描述物理系统基本性质的关键，它们不仅决定了算符的谱性质，还与量子态的演化有关。通过对易关系的分析，可以推导出量子态的时间演化方程，如薛定谔方程。对易关系的存在与否，以及其对易关系的具体形式，对于理解量子系统的行为至关重要。

(3)算符的运算规则还包括算符作用于波函数时的微分规则。例如，位置算符作用于波函数时，会得到波函数的偏导数，而动量算符作用于波函数时，则会得到波函数的负偏导数。这些微分规则反映了量子力学中力学量与波函数之间的关系，它们是量子力学理论的基础。此外，算符的运算规则还包括算符作用在波函数上的期望值计算，这涉及到积分运算，通过积分可以计算出力学量的平均值。这些运算规则共同构成了量子力学中算符理论的核心内容。

3.3算符的对易关系与不确定性原理

(1)算符的对易关系是量子力学中描述物理系统基本性质的重要概念。在量子力学中，对易关系指的是两个算符对易时，它们的乘积等于乘积的逆序，即\[[A,B]=AB-BA\]。对易关系的存在与否对量子态的性质有着深远的影响。例如，在量子力学的基本系统——氢原子中，位置算符和动量算符不可对易，这一特性直接导致了不确定性原理的诞生。

(2)不确定性原理是量子力学中的一个基本原理，它表明了一个量子系统的某些物理量不能同时具有确定的值。海森堡不确定性原理可以用以下形式表达：\[\DeltaA\DeltaB\geq\frac{1}{2}\hbar|[A,B]|\]，其中\[\DeltaA\]和\[\DeltaB\]分别表示物理量A和B的标准偏差，\[\hbar\]是约化普朗克常数，\[[A,B]\]是算符A和B的对易子。不确定性原理反映了量子力学中算符对易关系与物理量测量之间的内在联系。

(3)算符的对易关系与不确定性原理的关系在于，不可对易的算符会导致其对应的物理量不能同时具有确定的值。以位置算符和动量算符为例，由于它们不可对易，测量位置时动量的不确定性会增加，反之亦然。这种不确定性并不是由于测量精度的问题，而是量子力学的一个基本性质。通过对易关系的深入研究和应用，科学家们能够更好地理解量子世界的非经典特性，并在此基础上发展出一系列量子力学理论和技术。

3.4常见力学量算符的表示与性质

(1)位置算符是量子力学中最基本的算符之一，通常用帽子符号^上标表示，如^x和^y。在坐标表象中，位置算符的表示为\[^x=x\hat{I}\]，其中x是位置坐标，\(\hat{I}\)是单位算符。位置算符的性质是它对波函数的作用相当于对波函数进行平移。位置算符的期望值给出了粒子的平均位置，而其方差则描述了位置的不确定性。

(2)动量算符在量子力学中同样占有重要地位，通常用\(\hat{p}\)表示。在位置表象中，动量算符可以表示为\[\hat{p}=-i\hbar\frac{\partial}{\partialx}\]，其中\(\hbar\)是约化普朗克常数。动量算符的性质是它对波函数的作用相当于对波函数的相位进行变化