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第2章一维定态问题

2.1一维势阱问题

(1)一维势阱问题是量子力学中一个经典问题，它描述了一个粒子被限制在一个有限的空间区域内，而在这个区域之外，势能趋于无限大。在这个问题中，势阱的宽度、深度以及粒子的质量是影响其能级和波函数分布的关键因素。例如，考虑一个宽度为$a$的无限深方势阱，粒子的能量本征值由下式给出：

\[E_n=\frac{n^2\hbar^2\pi^2}{2ma^2}\]

其中，$n$是量子数，取正整数值，$\hbar$是约化普朗克常数，$m$是粒子的质量。能量本征值表明，粒子在势阱中的能量是量子化的，且随着量子数的增加，能量也相应地增加。对于这个模型，粒子在势阱内的波函数为：

\[\psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin\left(\frac{n\pix}{a}\right)\]

波函数的取值在势阱内部不为零，而在势阱外部为零。这意味着粒子在势阱内部有非零的概率密度分布，而在势阱外部则没有。例如，当$n=1$时，能量为：

\[E_1=\frac{\hbar^2\pi^2}{2ma^2}\]

对应的波函数为：

\[\psi_1(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin\left(\frac{\pix}{a}\right)\]

(2)在一维势阱问题中，波函数的归一化是一个重要的要求。归一化意味着波函数的概率密度在整个空间中的积分等于1，即：

\[\int_{-\infty}^{\infty}|\psi(x)|^2dx=1\]

这一条件保证了粒子在整个空间中的概率密度分布是合理的。例如，对于宽度为$a$的无限深方势阱，波函数的归一化可以通过以下步骤进行：

\[\int_{0}^{a}\left|\sqrt{\frac{2}{a}}\sin\left(\frac{n\pix}{a}\right)\right|^2dx=1\]

通过求解上述积分，可以得到归一化常数，进而得到归一化的波函数：

\[\psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin\left(\frac{n\pix}{a}\right)\]

(3)一维势阱问题的研究不仅有助于我们理解量子粒子的行为，还可以应用于实际物理问题的解决。例如，在半导体物理学中，电子在量子点或量子阱中的行为可以用一维势阱模型来近似描述。在这些情况下，电子的能量和波函数分布可以通过一维势阱问题的解来计算。例如，一个电子在量子阱中的能级间距可以用以下公式表示：

\[E_{n+1}-E_n=\frac{2mV_0^2\hbar^2}{2a^2}\]

其中，$V_0$是量子阱的势阱深度，$a$是量子阱的宽度。通过实验测量电子的能级，可以反演出量子阱的物理参数。这种分析方法在半导体器件的设计和优化中具有重要作用。

2.2一维无限深方势阱

(1)一维无限深方势阱，又称量子箱模型，是量子力学中的一个基本问题。该模型假设粒子被限制在一个无限深的方势阱中，即势阱的两侧势能为无穷大。在这种情况下，粒子的能级是离散的，且由量子数$n$决定，其中$n$为正整数。例如，一个宽度为$a$的一维无限深方势阱中，第$n$个能级的能量为：

\[E_n=\frac{n^2\hbar^2\pi^2}{2ma^2}\]

其中，$n$是量子数，$\hbar$是约化普朗克常数，$m$是粒子的质量。在实际应用中，例如在半导体物理中，电子在量子阱中的能级分布可以通过此模型进行近似。以硅量子阱为例，当量子阱宽度为$10\text{nm}$时，第一、第二和第三个能级的能量分别为：

\[E_1\approx0.15\text{eV},\quadE_2\approx1.1\text{eV},\quadE_3\approx3.2\text{eV}\]

(2)在一维无限深方势阱中，粒子的波函数在势阱内部呈正弦函数形式，而在势阱外部为零。波函数的形式为：

\[\psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin\left(\frac{n\pix}{a}\right)\]

其中，$x$是位置坐标，$a$是势阱的宽度。波函数的归一化条件要求波函数的概率密度在整个空间中的积分等于1。例如，对于宽度为$5\text{nm}$的无限深方势阱，当$n=3$时，波函数的归一化常数为：

\[\int_{0}^{5\text{nm}}\left|\sqrt{\frac{2}{5\text{nm}}}\sin\left(\frac{3\pix}{5\text{nm}}\right)\right|^2dx=1\]

(3)一维无限深方势阱问题的研究对于理解量子系统中的量子限制效应具有重要意义。例如，在纳米电子学领域，量子阱结构的电子能级和波函数分布对器件的性能有显著影响。