第01讲 平面向量的概念、线性运算及其坐标运算（教师版）.docx

第01讲平面向量的概念、线性运算及其坐标运算

（5类核心考点精讲精练）

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例

考点分析

关联考点

2024年新I卷，第3题,5分

平面向量线性运算的坐标表示

向量垂直的坐标表示

2023年新I卷，第3题,5分

平面向量线性运算的坐标表示

向量垂直的坐标表示

利用向量垂直求参数

2022年新Ⅱ卷，第4题,5分

平面向量线性运算的坐标表示

数量积及向量夹角的坐标表示

2021年新Ⅱ卷，第10题,5分

坐标计算向量的模

数量积的坐标表示

逆用和、差角的余弦公式化简、求值二倍角的余弦公式

2020年新Ⅱ卷，第3题,5分

向量加法的法则

向量减法的法则

无

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分

【备考策略】1了解向量的实际背景,理解平面向量的基本概念,理解向量的几何表示

2掌握向量的加、减运算并理解其几何意义

3掌握向量的数乘运算并理解其几何意义以及两个向量共线的含义

4理解向量的线性运算性质及其几何意义

5会向量间的坐标运算

【命题预测】本节一般考查平面向量的基本概念、线性运算及坐标运算，易理解，易得分，需重点复习

知识讲解

1．向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．

(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．

(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行．

(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．

(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．

2．向量的线性运算

向量运算

定义

法则(或几何意义)

运算律

加法

求两个向量和的运算

交换律：a＋b＝b＋a；

结合律：

(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

减法

求a与b的相反向量－b的和的运算

a－b＝a＋(－b)

数乘

求实数λ与向量a的积的运算

|λa|＝|λ||a|，当λ0时，λa与a的方向相同；当λ0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0

λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；

λ(a＋b)＝λa＋λb

1．平面向量加减法求解的关键是：对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连”．对平面向量减法应抓住“共起点，连两终点，指向被减向量的终点”，再观察图形对向量进行等价转化，即可快速得到结果．

2．在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作一个字母看待即可，其运算方法类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比．

3.向量共线定理

向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.

向量共线定理可以解决一些向量共线，点共线问题，也可由共线求参数；对于线段的定比分点问题，用向量共线定理求解则更加简洁．

（1）若eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.

（2）P为线段AB的中点?eq\o(OP,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(OB,\s\up15(→)))．

4.向量的坐标运算

两点间的向量坐标公式：

，，终点坐标始点坐标

向量的加减法

，，

向量的数乘运算

，则：

向量的模

，则的模

相反向量

已知，则；已知

单位向量

向量的平行关系

，，

考点一、平面向量基本概念的综合考查

1．关于平面向量，下列说法正确的是（????）

A．向量可以比较大小 B．向量的模可以比较大小

C．速度是向量，位移是数量 D．零向量是没有方向的

【答案】B

【分析】根据向量的相关概念直接判断即可.

【详解】向量不可以比较大小，但向量的模是数量，可以比较大小，A错误，B正确；

速度和位移都有方向和大小，是向量，C错误；

零向量方向任意，D错误.

故选：B

2．下列结论正确的是：（????）

A．若与都是单位向量，则．

B．若与是平行向量，则．

C．若用有向线段表示的向量与相等，则点M，N重合

D．直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量

【答案】C

【分析】根据题意，由平面向量的相关定义，对选项逐一判断，即可得到结果.

【详解】对于A、B，只有当与的方向相同且模长相等时才有，故A、B均错误；

对于C，若向量，又因为A是公共点，所以M与N重合，故正确；

对于D，因为轴与轴只有方向没有大小，所以都不是向量，故D错误；

故选：C.

3．（多选）下列结论中，错误的是（????）

A．表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同；

B．若，则，不是共线向量；

C．若，则四边形是平行四边形；

D．与同向，且，则

【答案】BCD

【分析】根