第04讲 基本不等式及其应用（十八大题型）（练习）（解析版）.docxVIP

第04讲基本不等式及其应用

目录

TOC\o1-2\h\z\u01模拟基础练 2

题型一：基本不等式及其应用 2

题型二：直接法求最值 4

题型三：常规凑配法求最值 5

题型四：化为单变量法 6

题型五：双换元求最值 7

题型六：“1”的代换求最值 8

题型七：齐次化求最值 9

题型八：利用基本不等式证明不等式 10

题型九：利用基本不等式解决实际问题 12

题型十：与a+b、平方和、ab有关问题的最值 15

题型十一：三角换元法 18

题型十二：多次运用基本不等式 21

题型十三：待定系数法 22

题型十四：多元均值不等式 23

题型十五：万能K法 23

题型十六：与基本不等式有关的恒(能)成立问题 25

题型十七：基本不等式与其他知识交汇的最值问题 26

题型十八：整体配凑法 27

02重难创新练 28

真题实战练 36

题型一：基本不等式及其应用

1．（2024·高三·安徽芜湖·期末）《几何原本》第二卷中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，并称之为无字证明．现有如图所示的图形，点在半圆上，且，点在直径上运动．作交半圆于点．设，，则由可以直接证明的不等式为（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】连接，由题知，，

所以，即，

因为，

所以，

所以，即，

因为，，

所以，，

所以

所以由可以证明

故选：D

2．下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是（????）

已知，求的最小值；解答过程：；

求函数的最小值；解答过程：可化得；

设，求的最小值；解答过程：，

当且仅当即时等号成立，把代入得最小值为4．

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【答案】A

【解析】对：基本不等式适用于两个正数，当，均为负值，

此时，

当且仅当，即时等号成立，故的用法有误，故错误；

对：，

当且仅当，即时取等号，

但，则等号取不到，故的用法有误；

对：，，，

当且仅当，即时取等号，故的用法有误；

故使用正确的个数是0个，

故选：.

3．下列不等式一定成立的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】A：当时，有，故不等式不一定成立，故A错误；

B：当，即时，有，故不等式不一定成立，故B错误；

C：恒成立，故C正确；

D：当时，有，故不等式不一定成立，故D错误；

故选：C

题型二：直接法求最值

4．（2024·上海普陀·二模）若实数，满足，则的最小值为.

【答案】

【解析】因为，，，

所以，

当且仅当，即时等号成立，

所以的最小值为.

故答案为：.

5．（2024·高三·上海青浦·期中）若且满足，则的最小值为.

【答案】

【解析】因为，所以，

则，

当，即或时取等号，

所以的最小值为.

故答案为：.

6．若，则的最小值为．

【答案】

【解析】因为，则，当且仅当时，等号成立，

故答案为：

题型三：常规凑配法求最值

7．若，则的最小值是．

【答案】3

【解析】∵，

∴，

当且仅当即时取等号，

∴时取得最小值3.

故答案为：3．

8．若，则函数的值域是.

【答案】

【解析】∵.

当时，，

当且仅当，即时取等号；

故函数的值域为.

故答案为：.

9．若，则有（????）

A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值

【答案】A

【解析】因，则，

于是得，当且仅当，即时取“=”，

所以当时，有最大值.

故选：A

题型四：化为单变量法

10．若，，则的最大值为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由，，

可消去得到，

则，令，

，

当时，，

故的最大值为．

故选：C．

11．（2024·高三·河南漯河·期末）设正实数、、满足，则的最大值为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为正实数、、满足，则，

所以，，

当且仅当时，即当时，等号成立，

故的最大值为.

故选：D.

12．已知正数x，y满足，则的最小值为.

【答案】12

【解析】由，可得，即，代入中，

可得

当且仅当时，取等号，

所以的最小值为12.

故答案为：12.

13．已知，若，则的最小值为.

【答案】

【解析】由，且，可得，

则，

设，可得且，

可得，

当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为.

故答案为：.

题型五：双换元求最值

14．（2024·全国·模拟预测）已知，，则的最小值为．

【答案】12

【解析】令，，则，，且，，

所以，．

又，所以

，