6.3 利用递推公式求通项（精讲）（学生版） 2024年高考数学一轮复习一隅三反系列（新高考）.pdf

6.3利用递推公式求通项（精讲）

一．公式法求通项

1.条件特征：前n项和与项或项数的关系

2.解题思路

①当n＝1时，由a＝S求a的值．

111

②当n≥2时，由a＝S－S，求得a的表达式

nnn－1n

③检验a的值是否满足(2)中的表达式，若不满足，则分段表示a．

1n

④写出an的完整表达式．

二．累加法

1.条件特征：后−前=()

2.解题思路

aa(aa)(aa)+...(aa)(aa)

n12132n1n2nn1

=根据f(n)中与前后项下标的关系写出每个括号的结果

=观察f(n)的特征选择合适的求和方法

=计算化简

注意：记得最后a进行移项

1

三．累乘法

a

后含有的式子

1.条件特征：=f(n)n

a

前

2.解题思路

aaaaaa

nnn1n232



aaaaaa

1n1n2n321

根据中的与前后项下标的关系列式

=f(n)n

=整理化简

注意：将进行移项

a

1

四．构造法

1.形如a＝pa＋q，p≠0，其中a＝a型

n＋1n1

(1)若p＝1，数列{a}为等差数列；

n

(2)若q＝0，数列{a}为等比数列；

n

(3)若p≠1且q≠0，数列{a}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．

n

方法如下：设a＋λ＝p(a＋λ)，得a＝pa＋(p－1)λ，

n＋1nn＋1n

qqq

又an＋1＝pan＋q，所以(p－1)λ＝q，即λ＝－(p≠1)，所以an＋1＋－＝p(an＋－)，

p1p1p1

qq

即a＋构成以a＋为首项，以p为公比的等比数列．

{n－}1－

p1p1

n

2.形如an＋1＝pan＋q(其中p，q均为常数，pq(p－1)≠0)型

an＋1pan1