第07讲 基本不等式（人教A版2019必修第一册）（原卷版）.docx

第07讲基本不等式

【人教A版2019】

·模块一两个不等式

·模块二基本不等式与最值

·模块三课后作业

模块一

模块一

两个不等式

1.两个不等式

不等式

内容

等号成立条件

重要不等式

a2+b2≥2ab(a,b∈R)

当且仅当“a=b”时取“=”

基本不等式

eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(a0,b0)

当且仅当“a=b”时取“=”

eq\f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq\r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．

基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

温馨提示：“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，eq\r(ab)≠eq\f(a＋b,2)，即只能有a2＋b22ab，eq\r(ab)eq\f(a＋b,2).

【考点1对基本不等式的理解】

【例1.1】（23-24高一上·河南·阶段练习）不等式a2+4

A．a=4 B．a=2 C．a

【例1.2】（23-24高一上·上海普陀·期中）下列不等式中等号可以取到的是（????）

A．x2+5+

C．x2+1

【变式1.1】（23-24高一上·浙江台州·阶段练习）若a,b∈

A．21a+

C．ab≤21

【变式1.2】（23-24高三上·安徽合肥·期中）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC=a，

A．a+b2

C．2aba+

【考点2利用基本不等式比较大小】

【例2.1】（23-24高一上·江苏淮安·期中）已知实数a，b，c满足c-b=a+2a-2，c+b

A．bca B．cb

【例2.2】（23-24高一上·上海普陀·期中）已知a，b∈R，且a

A．1a1b B．ba+

【变式2.1】（23-24高一上·上海宝山·阶段练习）某城市为控制用水，计划提高水价，现有以下四种方案，其中提价最多的方案是（其中0qp

A．先提价p%，再提价q% B．先提价q

C．分两次，都提价p2+q2

【变式2.2】（2023高一·全国·课后作业）已知a、b为正实数，A=a+

A．G≤H≤

C．G≤A≤

【考点3利用基本不等式证明不等式】

【例3.1】（23-24高一上·四川雅安·期中）已知a0，b0，且

(1)2a

(2)1a

【例3.2】（23-24高一上·贵州遵义·阶段练习）已知正数a，b满足a+b=2

【变式3.1】（23-24高一上·陕西西安·期中）设a，b均为正实数．

(1)求证：a

(2)若a+b=1

【变式3.2】（2023·全国·模拟预测）已知正数a，b，c满足a+

(1)abc≤

(2)b+

模块二

模块二

基本不等式与最值

1．基本不等式与最值

已知x，y都是正数，

(1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq\r(P)；

(2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq\f(1,4)S2.

温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件．

2．利用基本不等式求最值的几种方法

(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值．

(2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.

(3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值.

(4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.

【考点1利用基本不等式求最值（无条件）】

【例1.1】（23-24高三上·西藏林芝·期末）已知x1，则2x+

A．3 B．4 C．6 D．7

【例1.2】（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知函数fx=3-x-2x，则当

A．最大值3+22 B．最小值

C．最大值3-22 D．最小值

【变式1.1】（23-24高一上·湖北咸宁·阶段练习）已知0x1，则2x

A．12 B．14 C．32

【变式1.2】（23-24高一上·广东·期中）已知x0，则25x+

A．50 B．40 C．20 D．10

【考点2利用基本不等式求最值（有条件）】

【例2.1】（23-24高一上·江西新余·期中）已知a0，b0，a+3b=

A．5+22 B．5+23 C．5+25

【例2.2】（23-24高三上·山东·阶段练习）已知实数x，y满足xy0，且3x-y

A．3 B．4 C．5