第07讲 圆锥曲线中的离心率问题（高阶拓展、竞赛适用）（教师版）.docx

第07讲圆锥曲线中的离心率问题

（高阶拓展、竞赛适用）

（7类核心考点精讲精练）

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例

考点分析

关联考点

2024年新I卷，第12题,5分

求双曲线的离心率

无

2024年新I卷，第16题,15分

求椭圆的离心率

根据椭圆过的点求标准方程

椭圆中三角形(四边形)的面积

根据韦达走理求参数

2023年新I卷，第5题,5分

求椭圆的离心率或离心率的取值范围

由椭圆的离心率求参数的取值范围

无

2023年新I卷，第16题,5分

利用定义解决双曲线中集点三角形问题

求双曲线的离心率或离心率的取值范围

无

2022年全国甲卷（文科），

第11题,5分

根据离心率求椭圆的标准方程

根据a、b、c求椭圆标准方程

2022年全国甲卷（理科），

第10题,5分

求椭圆的离心率或离心率的取值范围

已知两点求斜率

2022年全国乙卷（理科），

第11题,5分

求双曲线的离心率或离心率的取值范围

用和、差角的正弦公式化简、求值

正弦定理解三角形

2022年新I卷，第16题,5分

根据离心率求楠圆的标准方程

椭圆中焦点三角形的周长问题

2021年全国乙卷（理科），

第11题,5分

求椭圆的离心率或离心率的取值范围

根据二次函数的最值或值域求参数

2021年全国甲卷（理科），

第5题,5分

求双曲线的离心率或离心率的取值范围

无

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等或偏难，分值为5分

【备考策略】1.理解离心率的定义及对曲线的影响

2.能用定义法求离心率

3.能用文中其他方法快速求解离心率

4.能求解离心率的相关最值问题

【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般以椭圆或双曲线为载体在小题中考查，有时也会在大题中命题，需重点强化练习

知识讲解

椭圆离心率求解的5种常用方法

公式1:

公式2:变形

证明:

公式3:已知棚圆方程为,两焦点分别为,

设焦点三角形,,则椭圆的离心率

证明:,

由正弦定理得:

由等比定理得:,即

.

公式4:以椭圆两焦点及椭圆上任一点(除长轴两端点外)为顶点,则

证明:由正弦定理有.

公式5:点是椭圆的焦点,过的弦与椭圆焦点所在轴的夹角为为直线的斜率,且.,则

当曲线焦点在轴上时,

注:或者而不是或

双曲线离心率求解的5种常用方法

公式1:

公式

证明:

公式3:已知双曲线方程为两焦点分别为,设焦点三角形,则

证明:,

由正弦定理得:

由等比定理得:

即。

公式4:以双曲线的两个焦点及双曲线上任意一点除实轴上两个端点外)为顶点的,则离心率

证明:由正弦定理,有

即

又

公式5:点是双曲线焦点,过弦与双曲线焦点所在轴夹角为为直线斜率,,则,当曲线焦点在轴上时,

注:或者而不是或

考点一、椭圆、双曲线中的定义法或公式法求离心率

1．（2024·全国·高考真题）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（????）

A．4 B．3 C．2 D．

【答案】C

【分析】由焦点坐标可得焦距，结合双曲线定义计算可得，即可得离心率.

【详解】由题意，设、、，

则，，，

则，则.

故选：C.

2．（2023·全国·高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答.

【详解】由，得，因此，而，所以.

故选：A

3．（全国·高考真题）双曲线C:的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为

A．2sin40° B．2cos40° C． D．

【答案】D

【分析】由双曲线渐近线定义可得，再利用求双曲线的离心率．

【详解】由已知可得，

，故选D．

【点睛】对于双曲线：，有；对于椭圆，有，防止记混．

4．（2024·新Ⅰ卷·高考真题）已知和为椭圆上两点.

(1)求C的离心率;

【详解】（1）由题意得，解得，

所以.

5．（2024·北京·高考真题）已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为．

(1)求椭圆的方程及离心率；

【详解】（1）由题意，从而，

所以椭圆方程为，离心率为；

1．（2024·辽宁·模拟预测）已知焦点在轴上的椭圆的短轴长为2，则其离心率为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据椭圆的定义和性质即可求解.

【详解】由椭圆的短轴长为2，知，，即，，

因此，

又椭圆的离心率，

故选：A.

2．（2024·安徽·模拟预测）双曲线的一条渐近线过点，则双曲线的离心率为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分