第06讲 用空间向量研究距离、夹角问题（思维导图+2知识点+6考点+过关检测）（原卷版）.docx

第06讲用空间向量研究距离、夹角问题

模块一思维导图串知识

模块二基础知识全梳理（吃透教材）

模块三核心考点举一反三

模块四小试牛刀过关测

1．掌握应用向量法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题；

2．掌握应用向量法求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的大小；

3．体会向量方法在研究立体几何问题中的作用，提升数学运算和直观想象的核心素养.

知识点1用向量法求空间距离

1、点到直线的距离

已知直线l的单位方向向量为，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为，则点P到直线l的距离为（如图）．

【注意】也可以用此法求“两条平行直线直接的距离”，即在一直线上任取一点，再利用点到直线的距离求得.

2、点到平面的距离

已知平面的法向量为，是平面内的任一点，是平面外一点，过点作则平面的垂线，交平面于点，则点到平面的距离为（如图）.

注意：线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解．

直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量．

两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量．

知识点2用向量法求空间角

1、异面直线所成角

若分别为直线的方向向量，为直线的夹角，则.

2、直线与平面所成角

1、夹角定义：设是直线的方向向量,是平面的法向量,直线与平面的夹角为．则．

2、利用空间向量求异面直线所成角的步骤：

（1）建立适当的空间直角坐标系，

（2）求出两条异面直线的方向向量的坐标，

（3）利用向量的夹角公式求出两直线方向向量的夹角，

（4）结合异面直线所成角的范围得到两异面直线所成角．

3、求两条异面直线所成角的两个关注点

（1）余弦值非负：两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值，而对应的方向向量的夹角可能为钝角．

（2）范围：异面直线所成角的范围是，故两直线方向向量夹角的余弦值为负时，应取其绝对值．

3、平面与平面的夹角

平面与平面的夹角：两个平面相交形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于的二面角称为这两个平面的夹角.

若分别为平面的法向量，为平面的夹角，则.

【注意】二面角取向量的夹角还是补角，可以通过平面图形观察，判断二面角是锐角还是钝角来解决。

考点一：求点到直线的距离

例1．（23-24高二上·河北石家庄·月考）在空间直角坐标系中，已知，则点A到直线的距离为（????）

A． B． C． D．

【变式1-1】（22-23高二上·云南临沧·月考）已知直线过点，且方向向量为，则点到的距离为（????）

A． B． C． D．

【变式1-2】（23-24高二下·广东·月考）AD为三角形ABC边BC上的高，在空间直角坐标系中，，，（????）

A． B． C． D．

【变式1-3】（23-24高二下·江西·月考）已知正方体的棱长为是棱的中点，若点在线段上运动，则点到直线的距离的最小值为（???）

A． B． C． D．

考点二：求点到平面的距离

例2.（23-24高二上·陕西渭南·月考）已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为（????）

A．10 B．3 C． D．

【变式2-1】（23-24高二下·山东烟台·月考）如图，在三棱锥中，平面，点分别为的中点，是线段的中点，，则直线到平面的距离为（????）

A． B． C． D．

【变式2-2】（22-23高二下·江苏淮安·期中）在边长为1的正方体中．平面与平面之间的距离为（????）

A． B．1 C． D．

【变式2-3】（23-24高二下·广东广州·期中）如图，三棱柱所有棱长均为，，侧面与底面垂直，、分别是线段、的中点．

(1)求证：；

(2)若点为棱上靠近的三等分点，求点到平面的距离．

考点三：利用空间向量求线线角

例3.（23-24高二下·广西南宁·月考）已知点，，，，则异面直线与所成角的正弦值为（????）

A． B． C． D．

【变式3-1】（23-24高二上·广东佛山·月考）在三棱锥中，已知平面分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（????）

A． B． C． D．

【变式3-2】（23-24高二下·江苏宿迁·月考）如图，在直三棱柱中，，，M是的中点，以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．若，则异面直线CM与所成角的余弦值为（????）

A． B． C． D．

【变式3-3】（23-24高二上·江西·月考）手工课可以提高学生的动手能力、反应能力、创造力．某小学生在一次手工课上制作了一座漂亮的房子模型，它可近似地看成是一个直三棱柱和一个正方体的组合体．其直观图如图所示，，，、、、分别是棱、、、的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（????）

??

A． B． C． D．

考点四：利用空间向量求线面角

例4.（23-24高二上·广