第16讲 对数及其运算（思维导图+3知识点+6考点+过关检测）（解析版）.docx

第16讲对数及其运算

模块一思维导图串知识

模块二基础知识全梳理（吃透教材）

模块三核心考点举一反三

模块四小试牛刀过关测

1．理解对数的概念，掌握对数的基本性质；

2．掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程；

3．理解对数的运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；

4．会运用运算性质进行一些简单的化简与证明.

知识点1对数的概念与性质

1、对数的概念：如果（且），那么数x叫做以a为底N的对数，记作，

其中a叫作对数的底数，N叫作真数．

2、常用对数与自然对数

名称

定义

记法

常用对数

以10为底的对数叫做常用对数

自然对数

以无理数为底的对数称为自然对数

3、对数的性质

（1）当，且时，；

（2）负数和0没有对数，即；

（3）特殊值：1的对数是0，即0（，且）；

底数的对数是1，即（，且）；

（4）对数恒等式：；

（5）．

知识点2对数的运算性质及应用

1、运算性质：,且，

（1）；

（2）；

（3）

2、换底公式

（1）换底公式：(a＞0，且a1；c＞0，且c1；b＞0)．

（2）可用换底公式证明以下结论：

①；②；③；

④；⑤.

知识点3对数运算常用方法技巧

1、对数混合运算的一般原则

（1）将真数和底数化成指数幂形式，使真数和底数最简，用公式化简合并；

（2）利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式；

（3）将同底对数的和、差、倍运算转化为同底对数真数的积、商、幂；

（4）如果对数的真数可以写成几个因数或因式的相乘除的形式，一般改写成几个对数相加减的形式，然后进行化简合并；

（5）对数真数中的小数一般要化成分数，分数一般写成对数相减的形式．

2、对数运算中的几个运算技巧

（1）的应用技巧：在对数运算中如果出现和，则一般利用提公因式、平方差公式、完全平方公式等使之出现，再应用公式进行化简；

（2）的应用技巧：对数运算过程中如果出现两个对数相乘且两个对数的底数与真数位置颠倒，则可用公式化简；

（3）指对互化的转化技巧：对于将指数恒等式作为已知条件，求函数的值的问题，通常设，则，，，将值带入函数求解．

考点一：对数的概念及辨析

例1．（23-24高一上·全国·专题练习）（多选）下列选项中错误的是（????）

A．零和负数没有对数

B．任何一个指数式都可以化成对数式

C．以10为底的对数叫做自然对数

D．以e为底的对数叫做常用对数

【答案】BCD

【解析】对于A：由对数的定义可知：零和负数没有对数.故A正确；

对于B：只有符合，且，才有，故B错误；

对于C：以10为底的对数叫做常用对数，故C错误；

对于D：以e为底的对数叫做自然对数，故D错误.故选：BCD.

【变式1-1】（23-24高一上·贵州贵阳·月考）使式子有意义的的取值范围是（????）

A． B． C．且 D．，

【答案】C

【解析】由式子有意义，则满足，解得且.故选：C.

【变式1-2】（23-24高一上·吉林延边·期中）在对数式中，实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】要使对数式有意义，需满足，解得或，

所以实数的取值范围是．故选:D.

【变式1-3】（22-23高一上·江苏宿迁·期中）在下列四个命题中，正确的是（????）

A．若则； B．若，则；

C．，则； D．若，则．

【答案】B

【解析】对A，若，则均无意义，故A错；

对B，若，说明，则B项正确；

对C，若，则，不一定能推出，故C错；

对D，若，则无意义，故D错.故选：B

考点二：对数式与指数式互化

例2.（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末）将化成指数式可表示为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】把对数式化成指数式，为．故选：A．

【变式2-1】（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）将化为对数式正确的是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】化为对数式为，故选：B．

【变式2-2】（23-24高一上·江苏连云港·期中）已知，则（????）

A． B．0 C．2 D．4

【答案】C

【解析】由得，即，又且，所以，故选：C．

【变式2-3】（23-24高一上·江西宁冈·期中）（多选）下列指数式与对数式的互化，正确的一组是（????）

A．与 B．与

C．与 D．与

【答案】ABD

【解析】根据指数式与对数式的互化公式且可知，ABD正确；

对于C，，故C错误.故选：ABD

考点三：利用对数性质解对数方程

例3.（23-24高一·江苏·假期作业）方程的根为（????）

A． B．3 C．或 D．或

【答案】B

【解析】由，得，

即，解得，

所以方程的根为.故选：B

【变式3-1】23-24高一上·山东烟台·月考）方程的