第18讲 妙用正余弦定理解决三角形或多边形问题（解析版）.docx

第18讲妙用正余弦定理解决三角形或多边形问题

【典型例题】

例1．（2024·青海·一模）在梯形ABCD中，，，，，，E，F分别为AD，BC的中点，则（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

过点作，交于，，交于，

又因为，

所以四边形和四边形为平行四边形，

所以，，

因为，，，，

所以，

因为E，F分别为AD，BC的中点，

所以，，

所以，

所以在中，，

所以在中，，

所以，

故选：A.

例2．（2024·江苏徐州·一模）在△ABC中，已知，，，D为垂足，，则（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设，可得，，

由正弦定理得，即，

因为，所以，

又因为，

所以，整理得，

因为，所以，所以，

即，解得，则，

即，

因为为锐角，，

所以，

在直角中，，所以.

故选：B.

例3．（2024·辽宁抚顺·模拟预测）在直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，，，，，过点B作平面截四棱柱所得截面为正方形，该平面交棱于点M，则（????）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【解析】

如图，设截面分别交，于点P，Q，

连接PQ，BM，设交点，连接，设交点，

由已知截面为正方形，则是，的中点，

底面ABCD为平行四边形，则是，的中点，

又，，则，

则是的中位线，也是四边形的中位线.

设，，

故，

由，得，

化简得（*），且，

由直四棱柱知，平面，

又平面，则

则四边形为直角梯形.

由，得，

在中，由余弦定理得，

解得，同理可得，

如图，在直角梯形中，在CQ上取点S，使，

则.

由，得，

即，化简得，

与（*）联立，解得，，

所以，则，

验证知，此时四边形为为正方形，满足题意.

则．

故选：B．

例4．（2024·广西来宾·一模）在中，D为边上一点，满足，且.

(1)证明：.

(2)若，求.

【解析】（1）由知，

所以，

因为，所以，

所以.

（2）由（1）知，设，则，

由知，又因为，

设，则，，

在中，，

在等腰中，，

所以，整理得，

所以，

故.

例5．（2024·内蒙古包头·一模）如图，在中，，D是斜边上的一点，，.

??

(1)若，求和；

(2)若，证明：.

【解析】（1）

由，，可得.

因为，所以在中，由正弦定理可得，即，

则或60°，又因为，故.

因此，又因为，所以是等边三角形，

所以，

又在中，，，故，

所以.

（2）证明：令，，，.

因为，则.

在与中，由余弦定理可得

消去，得，整理得，

所以，即.

例6．（2024·福建·模拟预测）在中，D为BC的中点，且.

(1)求；

(2)若，求.

【解析】（1）由，可得，如图所示：

在中，由正弦定理得，

所以

在中，由正弦定理得，

所以

故

因为为的中点，

所以，即，

（2）由（1）不妨设

在中，由余弦定理得

在中，由余弦定理得.

所以.

解得.

故

例7．（2024·甘肃陇南·一模）在中，内角A，B，C的对边分别为.已知

(1)求b；

(2)D为边上一点，，求的长度和的大小.

【解析】（1）由题意知在中，，

故，即，

由于，故；

（2）由（1）知，结合，得，

又，故，又，

则，

又，则，

故，即，即，

结合，解得，

则，，

而为锐角，故.

例8．（2024·全国·模拟预测）如图，四边形为梯形，，，，．

(1)求的值；

(2)求的长．

【解析】（1）因为，且，解得，．

而，所以，

所以

因为，所以，所以．

（2）在中，由正弦定理得，

因为，所以．

在中，由余弦定理得

，

所以．

例9．（2024·高三·河南·专题练习）在中，均在线段上，，若，且，.

(1)求的值；

(2)求的长度.

【解析】（1）由，可得为锐角，

因为，可得，

在中，由，

所以，又因为，

所以，所以，所以.

（2）由（1）可得，且，

由，可得，所以，可得，

则，

所以，

则，

由，可得，

又由余弦定理可得，即，

故.

例10．（2024·高三·江西·期末）如图，在△ABC中，，D为△ABC外一点，，记，.

(1)求的值；

(2)若的面积为，的面积为，求的最大值.

【解析】（1）

在中，由余弦定理，得，

在中，由余弦定理，得，

所以，

所以，

即.

（2）由题意知，，

所以

，

由（1）知，

所以，，

所以

，

所以当时，取得最大值，最大值为.

例11．（2024·云南大理·模拟预测）如图所示，在平行四边形中，有：.

(1)求的大小；

(2)若，求平行四边形的面积.

【解析】（1）由题意得，

由正弦定理得，

，

又，则，

.

（2）在平行四边形中，，

在中，由余弦定理得，

，即，

解得：或，

当时，平行四边形的面积：

；

当时，平行四边形的面积：

.

例12．（2024·高三·全国·专题练习）已知中，，在的内部有一点满足且．

(1)若为等边三角形，求的值；

(2)若，求的