第21讲 抛物线及其标准方程（思维导图+3知识点+5考点+过关检测）（解析版）.docx

第21讲抛物线及其标准方程

模块一思维导图串知识

模块二基础知识全梳理（吃透教材）

模块三核心考点举一反三

模块四小试牛刀过关测

1．结合教材实例掌握抛物线的定义；

2．掌握抛物线标准方程中参数p的几何意义，会求抛物线的标准方程；

3．通过抛物线概念的引入和抛物线方程的推导，提高用坐标法解决几何问题的能力.

知识点1抛物线的定义

1、定义：把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．

2、抛物线集合表示：．

3、要点辨析：

（1）定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线．

（2）抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性，故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质．

知识点2抛物线的标准方程

1、抛物线四种标准方程

标准方程

图形

焦点坐标

准线方程

2、对标准方程的理解

（1）标准方程的特征：等号的一边是某个变量的平方，等号的另一边是另一个变量的一次单项式．

（2）抛物线标准方程中参数p的几何意义：抛物线的焦点到准线的距离（焦准距），所以p的值恒大于0．

（3）焦点的非零坐标是一次项系数的．

（4）准线与坐标轴的交点和抛物线的焦点关于原点对称．

（5）方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向．p的值决定开口大小，p越大，则抛物线开口越大；p越小，则抛物线开口越小．

（6）抛物线虽然是不封闭图形，但与双曲线不同，它没有渐近线．

知识点3解题技巧与方法

1、由抛物线方程求焦点与准线方程的基本方法

（1）已知抛物线方程求焦点坐标与准线方程时，一般先将所给方程式化为标准形式，由焦点方程准确得到参数，从而得焦点坐标与准线方程，要注意；

（2）焦点所在坐标轴由标准方程的一次项确定，

系数为正，焦点在正半轴；系数为负，焦点在负半轴。

2、求抛物线标准方程的方法

（1）直接法：直接利用题中已知条件确定焦参数；

（2）待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定焦参数.当焦点位置不确定时，应分类讨论或设抛物线方程为或；

注意：=1\*GB3①已知焦点坐标或准线方程可确定抛物线标准方程的形式；

=2\*GB3②已知抛物线过某点不能确定抛物线标准方程的形式，需根据四种抛物线的图形及开口方向确定。

考点一：抛物线的定义及辨析

例1．（23-24高二上·浙江嘉兴·月考）已知抛物线，则其焦点到准线的距离为（????）

A． B． C．1 D．4

【答案】A

【解析】抛物线方程化为，所以焦点到准线的距离.故选：A

【变式1-1】（23-24高二下·吉林长春·月考）已知抛物线的焦点为点在上.若到直线的距离为4，则（????）

A．7 B．6 C．5 D．4

【答案】D

【解析】因为抛物线的焦点准线方程为，

点M在C上，所以M到准线的距离为.

又M到直线的距离为4，故.故选：D.

【变式1-2】（23-24高二下·河南周口·月考）若抛物线上的一点A到焦点的距离为5，则点A的纵坐标是（???）

A． B． C．2 D．4

【答案】D

【解析】因为抛物线的准线方程为，

由抛物线的定义可知，解得．故选：D．

【变式1-3】（23-24高二下·江苏南京·月考）已知抛物线的焦点为F，准线为l，点A在抛物线C上，点B在准线l上，若是边长为2的等边三角形，则的值是（?????）.

A．1 B． C．2 D．

【答案】A

【解析】根据题意，易知，由抛物线定义可得，

设准线与l的交点为，如下图所示：

因此与平行，又是边长为2的等边三角形，

所以，即,

可得，即.故选：A

考点二：求抛物线的焦点或准线

例2.（22-23高二上·吉林·月考）抛物线的准线方程是（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】抛物线的准线方程为：.故选：D

【变式2-1】（23-24高二下·内蒙古赤峰·月考）抛物线的焦点坐标是（）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】得到，则焦点坐标为．故选：D.

【变式2-2】（23-24高二上·陕西榆林·期中）已知抛物线C：过点，则抛物线C的准线方程为（???）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由抛物线C：过点，可得，解得，

即抛物线的方程为，可得抛物线的准线方程为.故选：B.

【变式2-3】（23-24高二上·河南郑州·月考）抛物线的准线方程是（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由，即得，所以即，

所以准线方程为.故选：A.

考点三：求抛物线的标准方程

例3.（23-24高二上·广东广州·期末）已知抛物线的焦点是，则抛物线的标准方程是（