第22讲 抛物线的简单几何性质（思维导图+4知识点+6考点+过关检测）（原卷版）.docx

第22讲抛物线的简单几何性质

模块一思维导图串知识

模块二基础知识全梳理（吃透教材）

模块三核心考点举一反三

模块四小试牛刀过关测

1．依据抛物线的方程、图形研究抛物线的几何性质；

2．能解决与抛物线的简单几何性质相关的简单问题；

3．能综合利用抛物线的几何性质解决相关的综合问题.

知识点1抛物线的几何性质

1、抛物线的几何性质

（1）范围：由方程可知，对于抛物线上的点，，，抛物线在轴的右侧，开口方向与轴的正方向相同；当的值增大时，的值也增大，这说明，抛物线向右上方和右下方无限延伸．

（2）对称性：以代，方程不变，所以抛物线关于轴对称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．

（3）顶点：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程中，当时，，因此抛物线的顶点就是原点．

（4）离心率：抛物线上的点与焦点的距离和点到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用表示．由抛物线的定义可知，．

2、四种标准方程对应的抛物线的性质比较

标准方程

图形

范围

对称轴

焦点坐标

准线方程

顶点坐标

离心率

通径

知识点2焦半径公式

1、焦半径的定义

设抛物线上一点，焦点为，准线为，则线段叫做抛物线的焦半径，过点作准线的垂线段，由抛物线的定义可知，．

2、用坐标表示焦半径公式

（1）抛物线，．

（2）抛物线，．

（3）抛物线，．

（4）抛物线，．

【注意】在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半径公式．

3、焦半径公式的应用：利用焦半径公式，我们可以把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，解题时方便快捷．一般来说，涉及到过焦点的直线与抛物线的交点问题，利用此公式解决较为简单．

知识点3直线与抛物线的位置关系

1、直线与抛物线的位置关系有三种情况：

相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）．

2、以抛物线与直线的位置关系为例：

（1）直线的斜率不存在，设直线方程为，

若，直线与抛物线有两个交点；

若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点；

若，直线与抛物线没有交点.

（2）直线的斜率存在.

设直线，抛物线，

直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数，

即二次方程（或）解的个数．

①若，

则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点；

当时，直线与抛物线相切，有个公共点；

当时，直线与抛物线相离，无公共点．

②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点．

3、直线与抛物线相交弦长问题

设为抛物线的弦，，，弦AB的中点为．

（1）弦长公式：（为直线的斜率，且）．

（2）中点弦斜率：,

推导：由题意，知，①②

由①-②，得，故，即.

（3）中点弦直线方程：直线的方程为．

知识点4抛物线的焦点弦性质

1、焦点弦的定义：过抛物线的焦点的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的焦点弦．

2、焦点弦长：如图，是抛物线过焦点的一条弦，设，，的中点，过点，，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点，，，

根据抛物线的定义有，，

故.

又因为是梯形的中位线，所以，

从而有下列结论；

（1）以为直径的圆必与准线相切.

（2）(焦点弦长与中点关系)

（3）.

（4）若直线的倾斜角为，则.

（5），两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即，.

（6）为定值.

考点一：由抛物线方程研究几何性质

例1．（22-23高二上·江苏苏州·期末）抛物线上一点到其对称轴的距离为（????）

A．4 B．2 C． D．1

【变式1-1】（23-24高二上·山东·月考）已知抛物线的焦点为，是上一点，且到的距离与到的对称轴的距离之差为2，则（????）

A． B．1 C．2或4 D．4或36

【变式1-2】（23-24高二上·浙江温州·期中）已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（????）

A． B． C． D．

【变式1-3】（23-24高二下·广东湛江·开学考试）已知点F是抛物线的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A到其准线的距离为4，则点A的坐标为（????）

A． B． C． D．

考点二：由几何性质求抛物线的方程

例2.（23-24高三上·山东青岛·开学考试）设抛物线：的焦点为，在上，，则的方程为（????）

A． B． C． D．

【变式2-1】（23-24高二上·云南昭通·期末）若抛物线上一点到其焦点的距离等于3，则（????）

A． B． C． D．

【变式2-2】（23-24高二上·全国·专题练习）边长为1的等边，O为坐标原点，x轴，以O为顶点且过的抛物线方程是（????）

A． B． C． D．

【变式2-3】（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，若点在上，点在上，且是周