第24讲 同角三角函数的基本关系（思维导图+3知识点+5考点+过关检测）（原卷版）.docx

第24讲同角三角函数的基本关系

模块一思维导图串知识

模块二基础知识全梳理（吃透教材）

模块三核心考点举一反三

模块四小试牛刀过关测

1．理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用；

2．会利用同角三角函数的基本关系进行化简、求值与恒等式证明.

知识点1同角三角函数的基本关系

1、同角三角函数的基本关系

基本关系

基本关系式

语言描述

平方关系

同一个角的正弦、余弦的平方和等于1

商数关系

同一个角QUOTE的正弦、余弦的商等于角QUOTE的正切

2、基本关系式的要点剖析

（1）“同角”有两层含义，一是“角相同”；二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如成立，但是就不一定成立．

（2）是的简写，读作“的平方”，不能将写成，前者是的正弦的平方，后者是的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写．

（3）注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的，对一切恒成立，而仅对成立．

知识点2关系式的常用等价变形

1、

2、

【注意】使用变形公式，时，“±”由的终边所在的象限来确定，而对于其他形式的变形公式则不必考虑符号问题．

知识点3基本关系式常用解题方法

1、已知某个三角函数值求其余三角函数值的步骤

第一步：由已知三角函数的符号，确定其角终边所在的象限；

第二步：依据角的终边所在象限分类讨论；

第三步：利用同角三角函数关系及其变形公式，求出其余三角函数值。

2、三角函数式的化简技巧

①化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．

②对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．

③对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造＋＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．

3、三角函数恒等式证明

证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法：

①证明一边等于另一边，一般是由繁到简．

②证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一)．

③比较法：即证左边－右边＝0或eq\f(左边,右边)＝1(右边≠0)．

④证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．

考点一：sina、cosa、tana知一求二

例1．（23-24高一上·湖南株洲·月考）已知，是第三象限角，则（????）

A． B． C． D．

【变式1-1】（23-24高一下·河南南阳·月考）已知是第二象限角，且，则（????）

A． B． C． D．

【变式1-2】（23-24高一下·北京·月考）已知，且，则（????）

A． B． C． D．

【变式1-3】（23-24高一下·山西临汾·月考）已知为第三象限角，，则（????）

A． B． C． D．

考点二：sina、cosa齐次式的求值

例2.（23-24高一下·山东济宁·月考）已知，则等于（????）

A． B． C． D．

【变式2-1】（23-24高一下·上海·月考）若，则（）

A． B． C． D．

【变式2-2】（23-24高一上·浙江湖州·月考）已知，则.

【变式2-3】（23-24高一上·全国·课时练习）已知，求：

（1）；（2）.

考点三：sina·cosa、sina±cosa关系

例3.（22-23高一上·浙江杭州·期末）已知，则的值为（????）

A． B． C． D．不存在

【变式3-1】（23-24高一下·辽宁沈阳·月考）已知，则下列结论不正确的是（????）

A． B．

C． D．

【变式3-2】（22-23高一下·辽宁沈阳·月考）已知在中，，则（????）

A． B． C． D．

【变式3-3】（23-24高一上·安徽合肥·月考）已知关于的一元二次不等式的解集中有且只有一个元素，

(1)计算的值；

(2)计算的值.

考点四：三角函数式的化简求值

例4.（23-24高一上·四川成都·月考）化简：.

【变式4-1】（2024高一上·全国·专题练习）化简：

【变式4-2】（2023高一上·河北保定·竞赛）化简

(1)；(2)已知是第三象限角，化简

【变式4-3】（2023高一上·江苏·专题练习）化简：

(1)－；(2)；(3)．

考点五：三角恒等式的证明

例5.（24-25高一上·全国·课后作业）求证：．

【变式5-1】（23-24高一上·全国·专题练习）求证：.

【变式5-2】（21-22高一上·甘肃兰州·期末）求证：

(1)；(2).

【变式5-3】（22-23高一·全国·随堂练习）求证：

(1)；

(2)；

(3)．

一、单选题

1．（23-24高一上·山东济宁·月考）已知，则的值为（??