第27讲 隐圆问题(解析版）.docx

第27讲隐圆问题

【典型例题】

例1．（2024·高二·湖南益阳·期末）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得?阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一.指的是：已知动点与两定点的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，其中，定点为轴上一点，定点的坐标为，若点，则的最小值为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设，，所以，由，

所以，因为且，所以，

整理可得，又动点M的轨迹是，所以，

解得，所以，又，

所以，

因为，所以的最小值，

当M在位置或时等号成立.

故选：D

例2．（2024·高三·重庆沙坪坝·阶段练习）在中，，且所在平面内存在一点使得，则面积的最大值为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】以的中点为坐标原点，建立直角坐标系，写出三点的坐标，利用两点间距离公式，以及圆与圆的位置关系，解不等式，得出的范围，再由三角形的面积公式以及二次函数的性质，即可得出面积的最大值.以的中点为坐标原点，所在直线为轴，建立直角坐标系

设，，，则

设，由得

即，

即点既在为圆心，为半径的圆上，又在为圆心，1为半径的圆上

可得，由两边平方化简可得

则的面积为

由，可得，取得最大值，且为.

故选：B.

例3．（2024·辽宁沈阳·二模）已知平面向量，，，满足，，，则的最小值为（????）

A．1 B． C．3 D．

【答案】A

【解析】因为，，

所以，

所以对任意都恒成立，

所以.

不妨设又.

当，设，

所以，

所以，

所以，

所以对应的点的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆，

所以可以看成是到的距离，

所以的最小值为.

当时，同理可得的最小值为1.

故选：A

例4．（2024·浙江杭州·二模）记的最大值和最小值分别为和.若平面向量满足则（?????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由已知可得：

，

建立平面直角坐标系，，，

可得：

化简得点轨迹，

则

转化为圆上点与的距离

故选

例5．（2024·高二·江西九江·阶段练习）中，所在平面内存在点P使得，，则的面积最大值为．

【答案】

【解析】以的中点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，

设，则，

设，由，，可得，

即，

即点P既在以为圆心，半径为的圆上，也在为圆心，为半径的圆上，

可得，

由两边平方化简可得，

则的面积为，

由，可得．

故答案为：.

例6．（2024·高三·江苏·专题练习）已知△ABC是边长为3的等边三角形，点P是以A为圆心的单位圆上一动点，点Q满足,则的最小值是.

【答案】

【解析】如图

建立平面直角坐标系,

设,则,

，

则

.

故答案为：.

例7．（2024·高三·山东德州·阶段练习）已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(－1,0)，B(1,0)，点P为圆上的动点，则|PA|2＋|PB|2的最大值是.

【答案】74

【解析】设P点的坐标为（3+sinα，4+cosα），

则d＝|PA|2+|PB|2＝（4+sinα）2+（4+cosα）2+（2+sinα）2+（4+cosα）2＝54+12sinα+16cosα＝54+20sin（θ+α）

∴当sin（θ+α）＝1时，即12sinα+16cosα＝20时，d取最大值74.

故答案为74．

【过关测试】

一、单选题

1．（2024·山东德州·一模）已知平面向量，，且非零向量满足，则的最大值是（????）

A．1 B． C． D．2

【答案】B

【解析】

设，则，，

整理得，则点在以为圆心，为半径的圆上，则表示和圆上点之间的距离，

又在圆上，故的最大值是.

故选：B.

2．（2024·四川成都·一模）已知平面向量、、满足，，，则的最大值为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】在平面内一点，作，，，则，则，

因为，则，故为等腰直角三角形，则，

取的中点，则，

所以，，所以，，

因为，

所以，，则，

所以，.

当且仅当、同向时，等号成立，故的最大值为.

故选：B.

3．（2024·河南·模拟预测）已知A，B为圆上的两动点，，点P是圆上的一点，则的最小值是（????）

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】C

【解析】设M是AB的中点，因为，所以，

即M在以O为圆心，1为半径的圆上，

，所以．

又，所以，

所以．

故选：C.

4．（2024·高三·全国·专题练习）已知向量为平面向量，，且使得与所成夹角为，则的最大值为（????）

A． B． C．1 D．

【答案】B

【解析】∵，∴的夹角为．

设，则，．∴为正三角形，

如图所示，作的