经典 八上第一章《勾股定理》预习20160704.docxVIP

经典八上第一章《勾股定理》预习一、勾股定理的发现与证明

(1)勾股定理的起源可以追溯到古代文明的数学成就，

其中最著名的记录是公元前2000年左右古埃及的“罗塞塔

石碑”上的一幅画，描绘了勾股定理的应用。在古希腊，毕

达哥拉斯学派对勾股定理的研究尤为深入，他们发现，直角

三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，这一发现被

后人命名为勾股定理。据传，毕达哥拉斯发现这一规律时，

曾因喜悦而献祭了一头公牛，这一故事至今仍被传为佳话。

(2)勾股定理的证明方法多种多样，最早的证明可以追

溯到古希腊数学家欧几里得的《几何原本》中。欧几里得通

过构造一系列相似的直角三角形，最终证明了勾股定理。在

中国，古代数学家刘徽运用了“割圆术”的方法来证明勾股

定理，他的证明方法巧妙地将圆的性质与勾股定理结合起来。

阿拉伯数学家阿尔-哈里迪在10世纪也给出了勾股定理的证

明，他的证明基于几何构造和代数运算的结合。

(3)勾股定理不仅在数学领域有着重要的地位，在物理

学、工程学等其他学科也有着广泛的应用。例如，在物理学

中，勾股定理可以用来计算力的分解和合成；在工程学中，

勾股定理可以帮助工程师设计桥梁、建筑等结构。此外，勾

股定理还与许多数学问题紧密相关，如黄金分割、圆的性质

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等。在数学竞赛和数学研究中，勾股定理及其相关性质常常

成为解题的关键。

二、勾股定理的应用

(1)勾股定理在建筑设计中有着广泛的应用。例如，在

古罗马时期，工程师们利用勾股定理设计了著名的罗马圆形

竞技场，其内部的长方形和圆形结构完美地结合，使得观众

无论坐在哪个位置都能看到比赛。在当代，勾股定理同样被

用于建筑设计中，如纽约的自由女神像底座，其底座的三个

直角三角形结构不仅美观，而且稳固，确保了女神像的稳定

性。

(2)在天文学中，勾股定理有助于计算天体之间的距离。

例如，通过观测地球与月球之间的角度，天文学家可以运用

勾股定理计算出月球与地球之间的实际距离。此外，在宇宙

飞船的发射和轨道设计中，勾股定理也是必不可少的工具。

它帮助工程师计算出宇宙飞船在发射过程中所需的推力和

速度。

(3)勾股定理在日常生活中也有着诸多应用。例如，在

家庭装修中，勾股定理可以帮助装修工人计算房间的面积，

确保家具摆放的合理性。在体育比赛中，勾股定理可以用来

计算运动员的跑动距离，为战术制定提供依据。在医学领域，

勾股定理有助于医生计算人体骨骼的长度，为手术提供参考。

这些例子都表明，勾股定理在各个领域都有着不可或缺的作

用。

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三、勾股定理的拓展与推广

(1)勾股定理的拓展之一是勾股数的研究。勾股数是指

满足勾股定理的三个正整数，如3、4、5。通过对勾股数的

探索，数学家们发现了许多有趣的性质，例如，勾股数可以

构成直角三角形的三边，而且这些数的比例关系具有特殊的

规律。例如，最小的勾股数是3、4、5，而最小的勾股数之

和是12，这一规律在后续的勾股数中得到了验证。

(2)勾股定理的推广之一是勾股恒等式的应用。勾股恒

等式是一系列包含勾股定理的等式，如勾股恒等式

（a^2+b^2=c^2）的变形，如a^2-b^2=(a+b)(a-b)。这些恒

等式在解决涉及直角三角形的数学问题时非常有用，它们可

以帮助简化计算，使得问题更容易解决。例如，在计算直角

三角形的面积时，可以利用勾股恒等式来推导出相关的面积

公式。

(3)勾股定理的推广还包括在非直角三角形中的应用。

在一般的三角形中，虽然不满足勾股定理，但可以通过类似

的原理来研究三角形的边长关系。例如，海伦公式就是一个

著名的三角形面积计算公式，它适用于任意三角形，通过将

三角形的边长和半周长结合，可以计算出三角形的面积。这

种推广使得勾股定理的概念得到了更广泛的运用。

四、勾股定理的历史与文化意义

(1)勾股定理的历史可以追溯到几千年前，它是人类文

明史上的一项重要数学成就。在中国，勾股定理最早见于《周

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髀算经》，这本书成书于公元前1世纪，是古代中国数学的

经典著作。勾股定理在中国古代数学中被称为“勾三股四弦

五”，意味着直角三角形的两条直角边长分别为