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精品-2018年秋九年级数学上册第四章图形的相似4.7相似三角形的性质第

1.相似三角形的定义与判定

(1)相似三角形是指形状相同但大小不同的三角形。在几何学中，如果两个三角形的对应角相等，并且对应边成比例，那么这两个三角形就是相似三角形。相似三角形的判定条件主要有两种：一种是角度相等，即两个三角形的对应角相等；另一种是边长比例相等，即两个三角形的对应边长之比相等。

(2)对于角度相等的判定，我们可以通过以下几种方法来判断两个三角形是否相似：一是AAA（角角角）判定法，即两个三角形的三个角分别相等；二是AA（角角）判定法，即两个三角形的两个角相等，且夹角对应的边也相等；三是SAS（边角边）判定法，即两个三角形的两个角和它们之间的边分别相等。

(3)边长比例相等的判定通常通过SSS（三边三边）判定法和SAS（边角边）判定法来进行。在SSS判定法中，如果两个三角形的三边分别成比例，那么这两个三角形是相似的；而在SAS判定法中，如果两个三角形的两个角和它们之间的边分别相等，并且这两个角对应的边也成比例，那么这两个三角形也是相似的。这些判定方法在解决几何问题时非常重要，能够帮助我们快速判断三角形的相似性。

2.相似三角形的性质

(1)相似三角形的性质之一是它们的对应角相等。例如，在一个相似三角形ABC和DEF中，如果∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，那么这两个三角形是相似的。在实际应用中，这个性质可以帮助我们解决一些复杂的几何问题。比如，在建筑设计中，如果需要确定两个相似三角形中某一边的实际长度，我们可以通过测量其中一个三角形中对应边的长度，然后根据相似比计算出另一个三角形中对应边的长度。

(2)另一个重要的性质是相似三角形的对应边成比例。在三角形ABC和DEF中，如果AB/DE=BC/EF=AC/DF，则这两个三角形相似。这个性质在解决实际问题中非常有用。例如，在一个地图上，如果两个城市之间的距离在地图上的比例是1:100000，那么在现实生活中这两个城市之间的实际距离是地图上距离的100000倍。

(3)相似三角形的面积比等于相似比的平方。这意味着，如果三角形ABC和DEF相似，且相似比为k，那么它们的面积比为k^2。例如，如果三角形ABC和DEF的相似比为2:1，那么它们的面积比为4:1。这个性质在计算几何图形的面积时非常有用。比如，在建筑设计中，如果我们知道一个相似三角形的面积，可以通过相似比来计算另一个相似三角形的面积，这对于材料预算和施工规划具有重要意义。

3.相似三角形的实际应用

(1)在建筑设计中，相似三角形的性质被广泛应用。例如，在设计和建造桥梁时，工程师们需要确保桥梁的各个部分保持正确的比例和角度。通过利用相似三角形的性质，他们可以在模型上测试桥梁的设计，并根据模型的比例放大到实际尺寸。假设设计一个桥梁的模型，比例为1:100，通过测量模型上的长度和角度，工程师可以计算出实际桥梁的尺寸。如果模型上的桥长为10厘米，那么实际桥梁的长度将是10厘米乘以100，即1000米。

(2)在天文学中，相似三角形的原理被用来测量天体之间的距离。例如，通过观测地球上的两个观察点所形成的三角形，可以计算出月球与地球之间的距离。这种方法称为三角测量法。在天文学的历史上，伽利略就曾使用这种方法来估算月球与地球之间的距离。通过测量地球上的两个点A和B，以及从A和B观测到的月球的位置C和D，可以构建两个相似的三角形。然后，使用相似三角形的性质，可以计算出月球与地球之间的距离。据历史记录，伽利略的测量结果与现在的科学计算非常接近。

(3)在医学领域，相似三角形的原理也被用于诊断和治疗。例如，在牙科中，当医生需要测量牙齿的尺寸时，他们可能会使用相似三角形的原理。通过将牙齿的轮廓与已知尺寸的牙齿模型进行比较，医生可以确定牙齿的实际大小。这种测量方法可以帮助医生决定是否需要牙齿矫正或者进行其他牙科手术。在一个具体的案例中，如果一颗牙齿的轮廓与一个已知尺寸为20毫米的牙齿模型相似，并且相似比为1.2，那么这颗牙齿的实际尺寸将是20毫米乘以1.2，即24毫米。这样的测量对于牙科治疗的成功至关重要。

四、4.练习与总结

(1)在学习相似三角形的性质和应用后，进行一系列的练习是巩固知识的重要步骤。可以尝试以下练习题来加深理解：给定两个三角形，验证它们是否相似，并找出它们的相似比。例如，三角形ABC中，AB=8cm，BC=10cm，AC=12cm；三角形DEF中，DE=6cm，EF=7.5cm，DF=9cm。尝试确定这两个三角形是否相似，并计算相似比。

(2)总结相似三角形的性质时，重要的是回顾相似三角形的几个核心特征：对应角相等、对应边成比例、面积比等于相似比的平方。通过这些性质，可以解决多种几何问题，包括计算未知