7.2：离散型随机变量及其分布列 解析版.docx

7.2：离散型随机变量及其分布列

【考点梳理】

考点一、离散型随机变量的分布列 考点二、离散型随机变量的分布列的性质

考点三、由离散型随机变量的分布列求概率 考点四：两点分布

考点五：离散型随机变量的综合问题

【知识梳理】

知识点一：随机变量的概念、表示及特征

1．概念：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量．

2．表示：用大写英文字母表示随机变量，如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，如x，y，z.

3．特征：随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对应，随机变量有如下特征：

(1)取值依赖于样本点．

(2)所有可能取值是明确的．

知识点二：离散型随机变量

可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量．

知识点三：离散型随机变量的分布列及其性质

1．定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2,3，…，n为X的概率分布列，简称分布列．

2．分布列的性质

(1)pi≥0，i＝1,2，…，n.

(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.

知识点四：两点分布

如果P(A)＝p，则P(eq\x\to(A))＝1－p，那么X的分布列为

X

0

1

P

1－p

p

我们称X服从两点分布或0－1分布．

【题型归纳】

题型一、离散型随机变量的分布列

1．（22-23高二上·全国）从装有除颜色外其余均相同的3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有个红球，随机变量的概率分布列如下:

0

1

2

则的值分别为、、.

【答案】///

【分析】利用古典概型的概率公式与组合的定义即可得解.

【详解】依题意，得

，，，

所以，，.

故答案为：；；.

2．（23-24高二下·山东东营·开学考试）学生甲想加入校篮球队，篮球教练对其进行投篮测试．测试规则如下：①投篮分为两轮，每轮均有两次机会，第一轮在罚球线处，第二轮在三分线处；②若他在罚球线处投进第一球，则直接进入下一轮，若第一次没投进可以进行第二次投篮，投进则进入下一轮，否则不预录取；③若他在三分线处投进第一球，则直接录取，若第一次没投进可以进行第二次投篮，投进则录取，否则不予录取．已知学生甲在罚球线处投篮命中率为，在三分线处投篮命中率为．假设学生甲每次投进与否互不影响．

(1)求学生甲被录取的概率；

(2)在这次测试中，记学生甲投篮的次数为，求的分布列．

【答案】(1)

(2)分布列见解析

【详解】（1）记事件，表示“甲在罚球线处投篮，第次投进”，事件表示“甲在三分线处投篮，第次投进”．

则，，

设事件C表示“学生甲被录取”，则，

所以，

所以学生甲被录取的概率为.

（2）由题分析知，的可能取值为2，3，4.

所以的分布列为

2

3

4

3．（23-24高二上·吉林长春·期末）某商场为了促销规定顾客购买满500元商品即可抽奖，最多有3次抽奖机会，每次抽中，可依次获得10元，30元，50元奖金，若没有抽中，则停止抽奖．顾客每次轴中后，可以选择带走所有奖金，结束抽奖；也可选择继续抽奖，若没有抽中，则连同前面所得奖金全部归零，结束抽奖．小李购买了500元商品并参与了抽奖活动，己知他每次抽中的概率依次为，如果第一次抽中选择继续抽奖的概率为，第二次抽中选择继续抽奖的概率为，且每次是否抽中互不影响．

(1)求小李第一次抽中且所得奖金归零的概率；

(2)设小李所得奖金总数为随机变量，求的分布列．

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】

（1）设出事件，分两种情况讨论：第一次抽中但第二次没抽中，前两次抽中但第三次没抽中，结合独立事件和互斥事件的概率计算公式求解出结果；

（2）先分析的可能取值，然后计算出对应概率，由此可求的分布列.

【详解】（1）记小李第次抽中为事件，则有，且两两互相独立，

记小李第一次抽中但奖金归零为事件，

则；

（2）由题意可知的可能取值为：，

，

，

，

，

所以的分布列为：

题型二、离散型随机变量的分布列的性质

4．（23-24高二上·山东德州·期末）离散型随机变量X的分布列中部分数据丢失，丢失数据以x，y（x，）代替，分布列如下：

1

2

3

4

5

6

0.21

0.20

0.10

0.10

则（????）

A．0.35 B．0.45 C．0.55 D．0.65

【答案】B

【分析】先根据概率之和为1求出，从而求解概率即可.

【详解】由题意得，化简得，

又且，所以，

所以.

故选：B

5．（22-23高二下·福建福州·期中）已知随机变量的分布列为，2，3，，，则（）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由随机变量的分布列的性质即概率和