第04讲 空间向量及其运算的坐标表示（思维导图+3知识点+8考点+过关检测）（解析版）.docx

第04讲空间向量及其运算的坐标表示

模块一思维导图串知识

模块二基础知识全梳理（吃透教材）

模块三核心考点举一反三

模块四小试牛刀过关测

1．了解空间直角坐标系，理解空间向量的坐标表示；

2．掌握空间向量运算的坐标表示；

3．掌握空间向量垂直与平行的条件及其应用；

4．掌握空间向量的模夹角以及两点间距离公式，能运用公式解决问题.

知识点1空间直角坐标系

1、空间直角坐标系的定义：在空间选定点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴.轴、轴，它们都叫作坐标轴．这时我们就建立了一个空间直角坐标系，叫作原点，都叫作坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫作坐标平面，分别称为平面，平面，平面，它们把空间分成八个部分．

2、右手直角坐标系的定义：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向轴的正方向，食指指向轴的正方向，若中指指向轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．如无特别说明，我们建立的坐标系都是右手直角坐标系．

知识点2空间向量的坐标表示

1、空间中点和向量的坐标的定义：在空间直角坐标系中为坐标向量，对空间任意一点，对应一个向量，且点的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使．

在单位正交基底下与向量对应的有序实数组，叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作．也叫点在空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点的横坐标，叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标．

2、几类特殊位置的点的坐标

（1）轴上的点的坐标为

（2）轴上的点的坐标为

（3）轴上的点的坐标为

（4）平面内的点的坐标为

（5）平面内的点的坐标为

（6）平面内的点的坐标为

3、空间中点的对称点的坐标：设点为空间直角坐标系中的点，则

（1）与点关于原点对称的点是

（2）与点关于轴对称的点是

（3）与点关于轴对称的点是

（4）与点关于轴对称的点是

（5）与点关于平面对称的点是

（6）与点关于平面对称的点是

（7）与点关于平面对称的点是

【注意】对称点问题常常采用“关于谁对称，谁就保持不变，其余坐标相反”这个结论．

知识点3空间向量的坐标运算

1、空间向量的坐标运算：若，，则：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）

2、空间向量平行和垂直：若，，则

（1），，

（2）

3、空间向量的长度、夹角公式：若，，则

（1），．

（2）．

【注意】（1）夹角公式可以根据数量积的定义推出：

，其中θ的范围是

（2）

（3）用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与θ的关系（相等，互余，互补）。

4、空间两点的距离公式

若，，则

①

即：一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．

②，

或．

考点一：空间向量与点坐标的表示

例1．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知点，则点坐标为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设，

则，

所以，解得，

所以点坐标为.故选：B.

【变式1-1】（23-24高二上·北京·期中）已知点，，，则点的坐标为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设，则，又，

因为，所以，

所以，解得，即.故选：A

【变式1-2】（22-23高二上·云南临沧·月考）在平行六面体中，，则点的坐标为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设点的坐标为，则由，得，解得，，则点的坐标为，故选：B.

【变式1-3】（23-24高二上·青海海东·月考）（多选）如图，在长方体中，，，，点E在线段AO的延长线上，且，下列向量坐标表示正确的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【解析】在空间直角坐标系中，，，，

，，

对于A，因为，，所以，故A不正确；

对于B，因为，，所以，故B正确；

对于C，因为，，所以，故C正确；

对于D，因为，，所以，故D不正确.

故选：BC.

考点二：空间中点的对称问题

例2.（23-24高二下·四川绵阳·开学考试）在空间直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】点关于原点对称的点的坐标为，故选：D.

【变式2-1】（23-24高二下·甘肃·期中）在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】点关于x轴对称的点的坐标为.故选：B

【变式2-2】（23-24高二上·河北石家庄·月考）点关于平面对称的点的坐标是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】点关于平面对称的点的坐标是.故选：B

【变式2-3】（23-24高二下·江苏连云港·期中）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（????）

A． B． C． D．

【答案】