2025年北师大版高中数学必修第二册第二章平面向量及其应用第3节从速度的倍数到向量的数乘.pptxVIP

第二章平面向量及其应用

§3从速度的倍数到向量的数乘

必备知识探新知关键能力攻重难课堂检测固双基素养作业提技能素养目标定方向

素养目标定方向

课标要求核心素养1．了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义．2．理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算进行向量运算．3．理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量的问题.通过学习向量的数乘运算，重点提升学生的逻辑推理和数学运算素养.

必备知识探新知

知识点1向量的数乘定义实数λ与向量a的乘积是一个________，记作λa.(1)λa的大小：|λa|＝|λ||a|.(2)λa的方向：①当λ0时，λa与a的方向________；②当λ0时，λa与a的方向________；③当λ＝0时，0a＝______.向量相同相反0

知识点2向量数乘的运算律设λ，u是实数，则有(1)λ(ua)＝________；(结合律)(2)(λ＋u)a＝__________；(第一分配律)(3)λ(a＋b)＝___________.(第二分配律)知识点3共线(平行)向量基本定理给定一个非零向量b，则对于任意向量a，a∥b的充要条件是___________________________.(λu)aλa＋uaλa＋λb存在唯一一个实数λ使a＝λb

关键能力攻重难

1.计算：(1)4(a＋b)－3(a－b)－8a；(2)(5a－4b＋c)－2(3a－2b＋c)；题型一向量的线性运算【分析】运用向量数乘的运算律求解．?[归纳提升]

归纳提升：向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算中也可以使用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．

〉对点训练1(1)下列各式计算正确的有()①(－7)6a＝－42a；②7(a＋b)－8b＝7a＋15b；③a－2b＋a＋2b＝2a；④4(2a＋b)＝8a＋4b.A．1个 B．2个C．3个 D．4个(2)若a＝b＋c，化简3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)的结果为()A．－a B．－4bC．c D．a－b【答案】(1)C(2)A

【解析】(1)①③④正确，②错，7(a＋b)－8b＝7a＋7b－8b＝7a－b.(2)3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)＝(3－2)a＋(6－6－2)b－2c＝a－2(b＋c)＝a－2a＝－a.

题型二用向量的线性运算表示未知向量

?[归纳提升]

归纳提升：解决此类问题的思路一般是将所表示向量置于某一个三角形内，用减法法则表示，然后逐步用已知向量代换表示．

〉对点训练2(1)如图，在正方形ABCD中，Q为BC上一点，AQ交BD于E，且E，F为BD的两个三等分点，则()

【答案】(1)BCD(2)见解析

3.设两个非零向量a与b不共线，题型三共线向量定理及其应用

(2)∵ka＋b与a＋kb共线，∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)即ka＋b＝λa＋λkb，∴(k－λ)a＝(λk－1)b，∵a、b是不共线的两个非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0.∴k＝±1.?[归纳提升]

归纳提升：1．证明或判断三点共线的方法

2．利用向量共线求参数的方法判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ，使得b＝λa(a≠0)．而已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解．若两向量不共线，必有向量的系数为零，利用待定系数法建立方程，从而解方程求得λ的值.

〉对点训练3

课堂检测固双基

1.(2a－b)－(2a＋b)等于()A．a－2b B．－2bC．0 D．b－a【答案】B

2．已知λ、μ∈R，下面式子正确的是()A．λa与a同向B．0·a＝0C．(λ＋μ)a＝λa＋μaD．若b＝λa，则|b|＝λ|a|【答案】C【解析】对A，当λ0时正确，否则错误；对B，0·a是向量而非数0；对D，若b＝λa，则|b|＝|λa|.

A．－4 B．－1C．1 D．4【答案】A

【答案】C