第07讲 基本不等式（人教A版2019必修第一册）（解析版）.docx

第07讲基本不等式

【人教A版2019】

·模块一两个不等式

·模块二基本不等式与最值

·模块三课后作业

模块一

模块一

两个不等式

1.两个不等式

不等式

内容

等号成立条件

重要不等式

a2+b2≥2ab(a,b∈R)

当且仅当“a=b”时取“=”

基本不等式

eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(a0,b0)

当且仅当“a=b”时取“=”

eq\f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq\r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．

基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

温馨提示：“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，eq\r(ab)≠eq\f(a＋b,2)，即只能有a2＋b22ab，eq\r(ab)eq\f(a＋b,2).

【考点1对基本不等式的理解】

【例1.1】（23-24高一上·河南·阶段练习）不等式a2+4

A．a=4 B．a=2 C．a

【解题思路】利用基本不等式的取等条件即可求解.

【解答过程】由基本不等式可知a2+4

即a=±

故选：D.

【例1.2】（23-24高一上·上海普陀·期中）下列不等式中等号可以取到的是（????）

A．x2+5+

C．x2+1

【解题思路】根据基本不等式使用条件逐一检验取等条件即可得答案.

【解答过程】解：对于A，因为x2+50，所以x2+5+1

对于B，因为x2+20，所以x2+2+1x2

对于C，因为x20，所以x2+1x2

对于D，因为x+30，所以|x|+3+1|x|+3≥2

故选：C.

【变式1.1】（23-24高一上·浙江台州·阶段练习）若a,b∈

A．21a+

C．ab≤21

【解题思路】本题可根据1a+1b≥21a×1b得出2

【解答过程】因为1a+1

所以21a+

因为a+b≥2

所以ab≤a+

因为a2+b

所以2a

即a2+b22

综上所述，21a+

故选：A.

【变式1.2】（23-24高三上·安徽合肥·期中）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC=a，

A．a+b2

C．2aba+

【解题思路】利用数形结合计算出OF,OC，再在Rt△OCF中，利用勾股定理得

【解答过程】设AC=a,BC=

又由OC=

在Rt△OCF中，可得

因为FO≤FC，所以a+

故选：D.

【考点2利用基本不等式比较大小】

【例2.1】（23-24高一上·江苏淮安·期中）已知实数a，b，c满足c-b=a+2a-2，c+b

A．bca B．cb

【解题思路】利用基本不等式得到c-b0，两式相减得到b=

【解答过程】因为a0，由基本不等式得c

故c

因为c+b=2

2b

故b=a2

故b

所以c

故选：B.

【例2.2】（23-24高一上·上海普陀·期中）已知a，b∈R，且a

A．1a1b B．ba+

【解题思路】利用不等式性质判断ACD，利用基本不等式判断B.

【解答过程】对于A，因为ab0

对于B，因为ab0，所以b

当且仅当ba=ab=1即a

对于C，因为ab0，所以a+b

对于D，因为ab0，所以1

又-a-b0，所以

故选：B.

【变式2.1】（23-24高一上·上海宝山·阶段练习）某城市为控制用水，计划提高水价，现有以下四种方案，其中提价最多的方案是（其中0qp

A．先提价p%，再提价q% B．先提价q

C．分两次，都提价p2+q

【解题思路】求出每个选项中提价后的水价，结合基本不等式比较大小可得合适的选项.

【解答过程】设原来的水价为a，AB选项中，两次提价后的水价为a1+

C选项中，两次提价后的水价为a1+

D选项中，两次提价后的水价为a1+

因为0qp1，则

所以，p2+q

即a1+

由基本不等式可得a1+

所以，a1+

故选：C.

【变式2.2】（2023高一·全国·课后作业）已知a、b为正实数，A=a+

A．G≤H≤

C．G≤A≤

【解题思路】利用基本不等式计算出H≤

【解答过程】因为a、b为正实数，

所以A=a+

2H=1a+

综上：H≤

故选：B.

【考点3利用基本不等式证明不等式】

【例3.1】（23-24高一上·四川雅安·期中）已知a0，b0，且

(1)2a

(2)1a

【解题思路】（1）由a2

（2）1a+

【解答过程】（1）因为a+b=1

因为a0，b0，所以ab≤

所以1-2ab≥1-2×14=

（2）因为a+b=1

因为a0，b0，所以ba

所以ba+9ab

则ba+9

【例3.2】（23-24高一上·贵州遵义·阶段练习）已知正数a，b满足a+