第11讲 圆锥曲线中的中点弦问题（高阶拓展、竞赛适用）（学生版）.docx

圆锥曲线中的中点弦问题

（高阶拓展、竞赛适用）

（3类核心考点精讲精练）

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例

考点分析

关联考点

2023年全国乙卷（文科），

第12题,5分

由弦中点求弦方程或斜率

已知方程求双曲线的渐近线

讨论双曲线与直线的位置关系

2022年新Ⅱ卷，第16题,5分

由中点弦求弦方程

根据弦长求参数

2022年新Ⅱ卷，第21题,12分

求双曲线中的弦长

由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数

根据韦达定理求参数

根据双曲线的渐近线求标准方程

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题不定，难度中等或偏难，分值为5-17分

【备考策略】1.理解、掌握圆锥曲线的中点弦及其相关计算

2.会用点差法求解相关问题

【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结合公式运算，需强化训练复习

知识讲解

椭圆中点弦斜率公式

(1)若Mx0,y0为椭圆x2a2+

kAB.kOM=-b2a2=e2-1

(2)若Mx

kAB.

双曲线的中点弦斜率公式

(1)若Mx0,y0为双曲线x2a2-y2b2=1弦AB(AB不平行y轴)的中点,则

kAB?kOM=b2a2=

3.抛物线的中点弦斜率公式

(1)若Mx0,y0为抛物线y2=2px弦AB(AB不平行y轴)的中点,则kAB=py0

(2)若Mx0,y0为抛物线

4.中点弦斜率拓展

在椭圆x2a2+y2b2=1中,以Px0,y0为中点的弦所在直线的斜率k=-b2x0a2y0;

在双曲线x

5.椭圆其他斜率形式拓展

椭圆的方程为（a＞b＞0），为椭圆的长轴顶点，P点是椭圆上异于长轴顶点的任一点，则有

椭圆的方程为（a＞b＞0），为椭圆的短轴顶点，P点是椭圆上异于短轴顶点的任一点，则有

椭圆的方程为（a＞b＞0），过原点的直线交椭圆于两点，P点是椭圆上异于两点的任一点，则有

点差法妙解中点弦问题

若设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为Ax

将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差,得到一个与弦AB的中点和斜率有关的式子,可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。

（1）设点:若Ax1,y1,Bx2,y2是椭圆x2a2+y2b2=1ab0上不重合的两点,则

x12a2+y1

化简可得y1+y

考点一、椭圆中的中点弦问题

1．（2022·全国·高考真题）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为．

2．（重庆·高考真题）直线与圆相交于两点，，弦的中点为，则直线的方程为．

3．（全国·高考真题）已知椭圆E:＋＝1(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为

A．＋＝1 B．＋＝1

C．＋＝1 D．＋＝1

1．（2024高三·全国·专题练习）椭圆上的两点A，B关于直线对称，则弦AB的中点坐标为（????）

A． B． C． D．

2．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆＋＝1内有一点P(2,3)，过点P的一条弦恰好以P为中点，则这条弦所在的直线方程为．

3．（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知倾斜角为的直线与椭圆交于两点，为中点，为坐标原点，则直线的斜率为（????）

A． B． C． D．

4．（2024·陕西铜川·三模）已知原点为，椭圆与直线交于两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为（????）

A． B． C． D．

5．（23-24高三下·安徽六安·阶段练习）已知椭圆：的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（）

A． B． C． D．

考点二、双曲线中的中点弦问题

1．（2023·全国·高考真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（????）

A． B． C． D．

2．（全国·高考真题）已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过F的直线与相交于A，B两点，且AB的中点为,则的方程式为

A． B． C． D．

3．（全国·高考真题）已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于，两点，若中点的横坐标为，则此双曲线的方程是

A． B．

C． D．

1．（23-24高三上·湖北武汉·期末）已知A，B为双曲线上不同两点，下列点中可为线段的中点的是（????）

A． B． C． D．

2．（23-24高二上·天津和平·期末）直线l与双曲线交于A，B两点，线段AB的中点为点，则直