第12讲 幂函数（人教A版2019必修第一册）（原卷版）.docx

第12讲幂函数

【人教A版2019】

·模块一幂函数的概念

·模块二幂函数的图象与性质

·模块三课后作业

模块一

模块一

幂函数的概念

1．幂函数的概念

(1)幂函数的概念：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．

(2)幂函数的特征：

①xα的系数为1；

②xα的底数是自变量；

③xα的指数为常数.

只有同时满足这三个条件，才是幂函数.

【考点1对幂函数的概念的理解】

【例1.1】（23-24高一上·新疆·阶段练习）下列函数中幂函数的是（????）

A．y=3x B．y=x2+2

【例1.2】（23-24高一上·陕西咸阳·期中）现有下列函数：①y=x3；②y=4x2；③y=x5

A．4 B．3 C．2 D．1

【变式1.1】（23-24高一上·江西吉安·期中）下列函数是幂函数的是（????）

A．y=x2-1 B．y=x

【变式1.2】（23-24高一上·云南西双版纳·期中）下列结论正确的是（????）

A．幂函数的图象一定过原点

B．α=1,3,12

C．幂函数的图象会出现在第四象限

D．y=2

【考点2求幂函数的函数值、解析式】

【例2.1】（23-24高一上·四川泸州·阶段练习）已知幂函数fx的图象过点P2,2,则f

A．16 B．8 C．4 D．2

【例2.2】（23-24高一上·四川成都·期中）幂函数y=fx的图象过点4,

A．fx=x-12

C．fx=x

【变式2.1】（23-24高一上·四川遂宁·期中）已知幂函数y=fx的图象过点2,4，则f

A．5 B．6 C．8 D．9

【变式2.2】（23-24高二上·辽宁·开学考试）已知点m,116在幂函数f

A．fx=x-2 B．fx

模块二

模块二

幂函数的图象与性质

1．常见幂函数的图象与性质

幂函数

图象

定义域

R

R

R

值域

R

R

奇偶性

奇函数

偶函数

奇函数

非奇非偶函数

奇函数

单调性

在R上为增函数

，增函数

，减函数

在R上为增函数

在上为增函数

，增函数

，减函数

定点

（1,1）

温馨提示：幂函数在区间(0，＋∞)上，当a0时，y＝xα是增函数；当α0时，y＝xα是减函数．

2．一般幂函数的图象与性质

(1)一般幂函数的图象：

①当α=1时，y=x的图象是一条直线.

②当α=0时，y==1(x≠0)的图象是一条不包括点(0,1)的直线.

③当α为其他值时，相应幂函数的图象如下表：

（p、q互质）

p，q都是奇数

p是偶数，q是奇数

p是奇数，q是偶数

(2)一般幂函数的性质：

通过分析幂函数的图象特征，可以得到幂函数的以下性质：

①所有的幂函数在(0,+)上都有定义，并且图象都过点(1,1).

②α0时，幂函数的图象过原点，并且在区间[0,+)上是增函数.

③α0时，幂函数在区间(0,+)上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方

无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴.

④任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限.

⑤任何两个幂函数的图象最多有三个公共点.除(1,1)，(0,0)，(-1,1)，(-1,-1)外，其他任何一点都不是两个

幂函数的公共点.

3．对勾函数的图象与性质

参考幂函数的性质，探究函数的性质.

(1)图象如图：与直线y=x，y轴无限接近.

(2)函数的定义域为；

(3)函数的值域为(-,-2]∪[2,+).

(4)奇偶性：，函数为奇函数.

(5)单调性：由函数的图象可知，函数在(-,-1)，(1,+)上单调递增，在

(-1,0)，(0,1)上单调递减.

【考点1求幂函数的定义域、值域】

【例1.1】（23-24高一上·北京延庆·期末）下列函数中定义域为R的是（????）

A．y=x1

C．y=x2

【例1.2】（2024高一·全国·专题练习）在下列函数中，定义域和值域不同的是（????）

A．y=x13 B．y=x

【变式1.1】（23-24高一上·广东珠海·期中）给出5个幂函数：①y=x-2；②y=x45；③y=x1

A．①② B．②③ C．②④ D．③④

【变式1.2】（23-24高一上·河北衡水·期中）幂函数y=fx的图象过点2,2，则函数

A．-∞,+∞ B．-∞,1

【考点2幂函数的图象】

【例2.1】（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）幂函数y=xm,y

A．mn

C．np

【例2.2】（23-24高一上·四川成都·期中）若幂函数f(x)的图像经过点2,14

A．?? B．??

C．?? D．??

【变式2.1】（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）如图的曲线是幂函数y=xn在第一象限内的图象.已知n分别取-2，-12，12，2四个值，与曲线C1、C2

A．2