第13讲 圆锥曲线中的定点、定直线问题（学生版）.docx

圆锥曲线中的定点、定直线问题

（2类核心考点精讲精练）

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例

考点分析

关联考点

2023年新Ⅱ卷，第21题,12分

双曲线中的定直线问题

直线的点斜式方程及辨析

根据a、b、c求双曲线的标准方程

2023年全国乙卷（文科），

第21题,12分

椭圆中的定点问题

根据离心率求椭圆的标准方程

2022年全国乙卷（文科），

第21题,12分

椭圆中的直线过定点问题

根据圆过的点求标准方程

2021年新Ⅱ卷，第20题,12分

椭圆中的直线过定点问题

根据离心率求椭圆的标准方程

求椭圆中的弦长

根据弦长求参数

2023年全国甲卷（理科），

第20题,12分

椭圆中的直线过定点问题

无

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题不定，难度中等或偏难，分值为5-17分

【备考策略】1.理解、掌握圆锥曲线的定点问题及其相关计算

2.理解、掌握圆锥曲线的定直线问题及其相关计算

【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结合公式运算，需强化训练复习

考点一、圆锥曲线中的定点问题

1．（2022·全国·高考真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．

(1)求E的方程；

(2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．

2．（2020·全国·高考真题）已知A、B分别为椭圆E：（a1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．

（1）求E的方程；

（2）证明：直线CD过定点.

3．（2019·全国·高考真题）已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.

（1）证明：直线AB过定点：

（2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.

4．（2019·北京·高考真题）已知椭圆的右焦点为，且经过点.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设O为原点，直线与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点.

5．（山东·高考真题）已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有.当点的横坐标为时，为正三角形.

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）若直线，且和有且只有一个公共点，

（ⅰ）证明直线过定点，并求出定点坐标；

（ⅱ）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.

1．（2024·浙江温州·模拟预测）已知椭圆：，左右顶点分别是，，椭圆的离心率是.点是直线上的点，直线与分别交椭圆于另外两点，.

(1)求椭圆的方程.

(2)若，求出的值.

(3)试证明：直线过定点.

2．（2024·江西鹰潭·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别是，，且椭圆过点．

(1)求椭圆C的方程；

(2)过的左焦点作弦，这两条弦的中点分别为，若，证明：直线过定点．

3．（2024·福建泉州·模拟预测）已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为，，焦距为2，点为椭圆上的点.

(1)求椭圆的方程；

(2)设点A，B在椭圆上，直线PA，PB均与圆：相切，证明：直线AB过定点.

4．（2024·湖南邵阳·三模）已知椭圆：的离心率为，右顶点与的上，下顶点所围成的三角形面积为．

(1)求的方程．

(2)不过点的动直线与交于，两点，直线与的斜率之积恒为．

（i）证明：直线过定点；

（ii）求面积的最大值．

5．（2024·河南周口·模拟预测）已知椭圆的焦距为2，不经过坐标原点且斜率为1的直线与交于P，Q两点，为线段PQ的中点，直线的斜率为.

(1)求椭圆的方程；

(2)设，直线PB与的另一个交点为，直线QB与的另一个交点为，其中，均不为椭圆的顶点，证明：直线MN过定点.

6．（2024·重庆渝中·模拟预测）已知椭圆的离心率为，点在上.

(1)求椭圆的方程；

(2)过点的直线交椭圆于两点（异于点），过点作轴的垂线与直线交于点，设直线的斜率分别为.证明：

（i）为定值；

（ii）直线过线段的中点.

考点二、圆锥曲线中的定直线问题

1．（2023·全国·高考真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．

(1)求C的方程；

(2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上.

2．（安徽·高考真题）设椭圆过点，且左焦点为

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）当过点的动直线与椭圆相交与两不同点时，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上

3．（2