第20讲 新高考新结构命题下的圆锥曲线解答题综合训练（教师版）.docx

新高考新结构命题下的

圆锥曲线解答题综合训练

（7类核心考点精讲精练）

在新课标、新教材和新高考的“三新”背景下，高考改革又一次具有深度的向前推进。这不仅仅是一场考试形式的变革，更是对教育模式和教育理念的全面革新。

当前的高考试题设计，以“三维”减量增质为核心理念，力求在减少题目数量的同时，提升题目的质量和考查的深度。这具体体现在以下三个方面：

三考

题目设计着重考查学生的知识主干、学习能力和学科素养，确保试题能够全面、客观地反映学生的实际水平。

三重

强调对学生思维深度、创新精神和实际应用能力的考查，鼓励学生不拘泥于传统模式，展现个人的独特见解和创造力。

三突出

试题特别突出对学生思维过程、思维方法和创新能力的考查，通过精心设计的题目，引导学生深入思考和探索，培养逻辑思维和创新能力。

面对新高考新结构试卷的5个解答题，每个题目的考查焦点皆充满变数，无法提前预知。圆锥曲线版块作为一个重要的考查领域，其身影可能悄然出现在第15题中，作为一道13分的题目，难度相对较为适中，易于学生入手。同样不能忽视的是，圆锥曲线版块也可能被置于第18、19题这样的压轴大题中，此时的分值将提升至17分，挑战学生的解题能力和思维深度，难度自然相应加大。

面对如此多变的命题趋势，教师在教学备考过程中必须与时俱进。不仅要深入掌握不同题目位置可能涉及的知识点及其命题方式，更要能够灵活应对，根据试题的实际情况调整教学策略。本文基于新高考新结构试卷的特点，结合具体的圆锥曲线解答题实例，旨在为广大师生提供一份详尽的圆锥曲线解答题综合训练指南，以期在新高考中取得更好的成绩。

考点一、弦长及面积问题

1．（2024·浙江·二模）已知点为抛物线与圆在第一象限的交点，另一交点为.

(1)求；

(2)若点在圆上，直线为抛物线的切线，求的周长．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）直接将点依次代入抛物线、圆的方程中即可求解；

（2）首先根据导数几何意义求出的方程，根据对称性得到的坐标，联立圆的方程求出的坐标，结合两点间的距离公式即可求解.

【详解】（1）由题意，，解得．

（2）

在抛物线与圆的方程中，用替换方程依然成立，

这表明这两个图象都关于轴对称，所以它们的交点也关于轴对称，

由，知．

直线为抛物线的切线，

当时，，所以抛物线在点处的切线斜率为，则．

代入，得或1，故．

则的周长为．

2．（2024·江西·模拟预测）已知双曲线的离心率为2，顶点到渐近线的距离为．

(1)求的方程；

(2)若直线交于两点，为坐标原点，且的面积为，求的值．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）由离心率及顶点到渐近线的距离列方程即可求；

（2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理及弦长公式，点到直线距离公式求解面积即可.

【详解】（1）记的半焦距为，由题得的离心率，①

由对称性不妨设的顶点为，渐近线方程为，则，②

又，③

联立①②③解得，，，

所以的方程为．

（2）设Ax

由得，

所以，

解得，且，

所以，，

所以．

又点到直线的距离，

所以的面积，

解得或，符合式，

所以或．

3．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知双曲线与椭圆共焦点，点、分别是以椭圆半焦距为半径的圆与双曲线的渐近线在第一、二象限的交点，若点满足，（为坐标原点），

(1)求双曲线的离心率；

(2)求的面积.

【答案】(1)

(2)8

【分析】（1）由椭圆方程求得焦点坐标和圆的方程，通过联立方程组求出两点，由，求出的值得双曲线的离心率；

（2）由的坐标，可求出的面积.

【详解】（1）椭圆中，，，，

椭圆焦点为，∴双曲线的焦点坐标为.

双曲线的渐近线方程为，

的方程：.

由得，，.

由题意知，、分别为第一、二象限的交点，

∴，，

∴，，

∵，∴，∴.

化简整理得，

又∵代入上式，解之得，.

∴双曲线方程：.

离心率.

（2）由（1）知，，

∴，.

∴.

4．（2024·河北·模拟预测）已知直线过椭圆的右焦点，且交于两点．

(1)求的离心率；

(2)设点，求的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意，结合题目所给信息以及，，之间的关系，可得椭圆的方程，再根据离心率公式即可求解；

（2）先得到直线的方程，将直线的方程与椭圆方程联立，利用弦长公式、点到直线的距离公式以及三角形面积公式进行求解即可．

【详解】（1）由题，，

且在上有，

解得．

故椭圆的标准方程为，

离心率．

（2）因为直线经过，两点，

可得直线的方程为，

联立，

解得或，

所以直线与椭圆的另一交点为，

则，

又点到直线的距离．

故的面积．

5．（2024·四川南充·一模）已知动点与定点的距离和P到定直线的距离的比是常数，记点P的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的标准方程；

(2)设点，若曲线C上两点M，N均在x轴上方，且，，求直线FM的斜率.

【答案】(