第37讲 概率及四大分布：两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布(解析版）.docx

第37讲概率及四大分布：两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布

【典型例题】

例1．（2024·高二·河北唐山·阶段练习）甲乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮命中率均为0.6，乙每次投篮命中率均为0.8，由抽签确定第1次投篮的人选，第一次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.

(1)求第2次投篮的人是乙的概率.

(2)求第次投篮的人是甲的概率.

(3)设随机事件Y为甲投篮的次数，，1，2，……，n，求.

【解析】（1）

设第2次投篮的人是乙的概率为，

由题意得；

（2）由题意设为第次投篮的是甲，

则，

，

又，则是首项为，公比为0.4的等比数列，

，即，

第次投篮的人是甲的概率为；

（3）由（2）得，

由题意得甲第次投篮次数服从两点分布，且，

，

当时，，

综上所述，，．

例2．（2024·北京石景山·一模）某高校“植物营养学专业”学生将鸡冠花的株高增量作为研究对象，观察长效肥和缓释肥对农作物影响情况.其中长效肥、缓释肥、未施肥三种处理下的鸡冠花分别对应1,2,3三组.观察一段时间后，分别从1,2,3三组随机抽取40株鸡冠花作为样本，得到相应的株高增量数据整理如下表.

株高增量（单位：厘米）

第1组鸡冠花株数

9

20

9

2

第2组鸡冠花株数

4

16

16

4

第3组鸡冠花株数

13

12

13

2

假设用频率估计概率，且所有鸡冠花生长情况相互独立.

(1)从第1组所有鸡冠花中随机选取1株，估计株高增量为厘米的概率；

(2)分别从第1组，第2组，第3组的所有鸡冠花中各随机选取1株，记这3株鸡冠花中恰有株的株高增量为厘米，求的分布列和数学期望；

(3)用“”表示第组鸡冠花的株高增量为，“”表示第组鸡冠花的株高增量为厘米，，直接写出方差，，的大小关系.（结论不要求证明）

【解析】（1）设事件为“从第1组所有鸡冠花中随机选取1株，株高增量为厘米”，

根据题中数据，第1组所有鸡冠花中，有20株鸡冠花增量为厘米,

所以估计为；

（2）设事件为“从第2组所有鸡冠花中随机选取1株，株高增量为厘米”，

设事件为“从第3组所有鸡冠花中随机选取1株，株高增量为厘米”，

根据题中数据，估计为，估计为，

根据题意，随机变量的所有可能取值为0,1,2.3，且

；

；

；

，

则的分布列为：

0

1

2

3

所以.

（3）

理由如下：

，所以；

，所以；

，所以；

所以.

例3．（2024·高三·全国·专题练习）2023年12月2日，中央广播电视总台发布了甲辰龙年春晚的主标识——龘，中央广播电视总台《2024年春节联欢晚会》以“龙行龘龘，欣欣家国”为主题，创新“思想＋艺术＋技术”融合传播，与全球华人相约除夕，共享一台精彩纷呈、情真意切、热气腾腾的文化盛宴，为了解大家对“龘”这个字的认知情况，某网站进行了调查，得到如下表格：

认知情况

A类：不会读不会写

B类：会读不会写

C类：会读且会写但不理解

D类：会读、会写且理解

人数/万人

10

30

5

5

(1)为了帮助大家记住“龙行龘龘，欣欣家国”这个主题，该网站设计了一个有奖游戏，参与者点击游戏按钮，“龙行龘龘，欣欣家国”这8个字将进行随机排列，若相同的字分别相邻（即龘与龘相邻，欣与欣相邻），则参与者可以获得奖励，求参与者获得奖励的概率；

(2)若从参与调查的人员中按照分层随机抽样的方法抽取20人进行座谈，再从这20人中随机选取3人赠送小礼品，这3人中属于D类的人数记为X，求X的分布列及数学期望.

【解析】（1）将这8个字随机排列，不同的排列方法有种，

相同的字分别相邻的不同情况有种，

故参与者可以获得奖励的概率.

（2）根据分层随机抽样可知，A类参与调查的人员抽取4人，B类参与调查的人员抽取12人，

C类参与调查的人员抽取2人，D类参与调查的人员抽取2人，

X的所有可能取值为0，1，2，

则，，，

所以X的分布列为

X

0

1

2

P

所以X的数学期.

例4．（2024·高三·陕西安康·阶段练习）交通拥堵指数是表征交通拥堵程度的客观指标，用TPI表示，TPI越大代表拥堵程度越高．某平台计算TPI的公式为：，并按TPI的大小将城市道路拥堵程度划分为如下表所示的4个等级：

TPI

不低于4

拥堵等级

畅通

缓行

拥堵

严重拥堵

某市2024年元旦及其前后共7天与2023年同期的交通高峰期城市道路TPI的统计数据如下图：

(1)从2024年元旦及其前后共7天中任取2天，求这2天中至少有1天交通高峰期城市道路TPI为“拥堵”的概率；

(2)从2024年元旦及其前后共7天中任取3天，将这3天中交通高峰期城市道路TPI比2023年同日TPI高的天数记为X，求X的分布列及数学期望．

【解析】（1）由题意知从2024年元旦及其前