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量子力学周世勋习题解答第三章

第一章基本概念与原理

第一章基本概念与原理

(1)量子力学作为20世纪初兴起的一门基础科学，标志着人类对微观世界的认识迈入了全新的阶段。在经典物理学中，物体被认为是由连续的、可无限分割的质点组成，而量子力学则揭示了微观粒子具有波粒二象性。例如，光既表现出波动性，如干涉、衍射现象，又表现出粒子性，如光电效应。爱因斯坦的光量子假说揭示了光具有粒子性质，其能量与光的频率成正比，公式为E=hν，其中E为光子能量，h为普朗克常数，ν为光的频率。

(2)量子态是量子力学中描述粒子状态的基本概念。一个量子态由波函数描述，波函数包含了粒子的位置、动量、自旋等全部信息。波函数的模平方给出了粒子在某一位置被发现的概率。例如，在氢原子中，电子的波函数可以表示为ψ(r)，其中r为电子与原子核之间的距离。波函数的平方|ψ(r)|2即为电子在位置r附近被发现的概率密度。

(3)量子力学的基本方程为薛定谔方程，它是一个二阶偏微分方程，描述了量子系统的动力学。薛定谔方程的形式为i??ψ/?t=Hψ，其中i为虚数单位，?为约化普朗克常数，H为哈密顿算符，ψ为波函数。薛定谔方程的解给出了系统的能量本征值和对应的波函数。例如，在自由粒子的情况下，薛定谔方程可以简化为一维时间独立薛定谔方程，其解为Eψ=-?2/2m(?2ψ/?x2)，其中E为能量，m为粒子质量。通过解薛定谔方程，我们可以预测粒子的运动轨迹和能量变化。

第二章量子态与算符

第二章量子态与算符

(1)量子态是量子力学中描述粒子状态的基本概念，它是量子系统所有可能状态的完备集。量子态通常用波函数来表示，波函数包含了粒子在空间中的位置、动量、自旋等全部信息。波函数的复数形式以及模平方在量子力学中具有特殊的意义。在量子力学中，粒子的量子态可以通过波函数的叠加来描述，即一个量子态可以表示为多个可能状态的线性组合。例如，一个粒子的量子态可以表示为|ψ?=c?|ψ??+c?|ψ??，其中c?和c?是复数系数，|ψ??和|ψ??是基态。

(2)算符在量子力学中扮演着至关重要的角色，它是量子力学中的数学工具，用于描述物理量。算符可以作用于波函数，从而得到新的波函数。量子力学中的基本算符包括位置算符、动量算符、角动量算符等。位置算符X作用于波函数ψ(x)时，结果为Xψ(x)=xψ(x)，表示粒子在位置x处的概率密度。动量算符P作用于波函数ψ(x)时，结果为Pψ(x)=-i??/?xψ(x)，表示粒子在位置x处的动量。角动量算符L同样作用于波函数，其形式为Lψ(x)=-i?(x?/?y-y?/?x)ψ(x)，表示粒子在位置x处的角动量。

(3)在量子力学中，算符不仅作用于波函数，还可以相互运算。算符的运算规则遵循一定的代数关系，如对易关系、反对易关系等。对易关系描述了两个算符相互作用的性质，如位置算符和动量算符满足对易关系[hat{X},hat{P}]=ihat{I}，其中[hat{X},hat{P}]表示位置算符和动量算符的对易子，hat{I}为单位算符。此外，算符的运算还遵循线性组合原理，即一个算符作用于一个线性组合的波函数，等于算符分别作用于各个波函数的线性组合。例如，对于一个算符hat{A}，若波函数|ψ?=c?|ψ??+c?|ψ??，则有hat{A}|ψ?=c?hat{A}|ψ??+c?hat{A}|ψ??。这些运算规则为量子力学提供了强大的数学工具，使我们能够描述和预测量子系统的行为。

第三章量子力学基本方程与力学量

第三章量子力学基本方程与力学量

(1)薛定谔方程是量子力学中描述系统动力学行为的基本方程，它以波函数的形式给出了粒子在时间演化过程中的状态。一维时间独立薛定谔方程为Eψ=-?2/2m(?2ψ/?x2)，其中E代表系统的能量，?是约化普朗克常数，m是粒子的质量，ψ是波函数。该方程揭示了能量本征值与波函数的关系，通过求解薛定谔方程可以得到系统的能级和波函数。例如，在氢原子模型中，薛定谔方程的解给出了电子的能级和波函数，揭示了电子在原子中的能级结构。

(2)量子力学中的力学量包括位置、动量、角动量、能量等。这些力学量可以通过对应的算符来表示。位置算符X和动量算符P是量子力学中最基本的力学量算符。位置算符X作用于波函数ψ(x)时，结果为Xψ(x)=xψ(x)，表示粒子在位置x处的概率密度。动量算符P作用于波函数ψ(x)时，结果为Pψ(x)=-i??/?xψ(x)，表示粒子在位置x处的动量。此外，角动量算符L也具有类似的作用，它描述了粒子在空间中的转动状态。

(3)量子力学中的力学量具有量子化的特性，即力学量的取值是离散的。例如，氢原子中的电子能量只能取特定的能级，这些能级由主量子数n、角量子数l、磁量子数m以及自旋量子数s决定。能量本征值E