全国通用2025版高考数学二轮复习第三层备考篇专题二4大数学思想系统归纳第2讲数形结合思想讲义.docxVIP

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第2讲数形结合思想

数形结合思想，就是依据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想.数形结合思想的应用包括以下两个方面：

以形助数

以数助形

借助形的直观性来阐明数之间的联系.以形助数常用的有：借助数轴，借助函数图象，借助单位圆，借助数式的结构特征，借助于解析几何方法

借助于数的精确性来阐明形的某些属性.以数助形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系，借助于运算结果与几何定理的结合

由“形”到“数”的转化，往往比较明显，而由“数”到“形”的转化却须要转化的意识，因此，数形结合的思想的运用往往偏重于由“数”到“形”的转化.

应用(一)利用数形结合思想探讨函数的零点问题

[例1]已知函数g(x)＝a－x2－2x，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(g（x），x＜0，,g（x－1），x≥0，))且函数y＝f(x)－x恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是________.

[解析]f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－x2－2x，x＜0，,a－x2＋1，x≥0，))y＝f(x)－x恰有3个不同的零点等价于y＝f(x)与y＝x有三个不同的交点，试想将曲线f(x)上下平移使之与y＝x有三个交点是何等的困难，故可变形再结合图象求解.

由f(x)－x＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－x2－3x，x＜0，,a－x2－x＋1，x≥0，))

可得f(x)－x＝a＋eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2－3x，x＜0，,－x2－x＋1，x≥0，))

所以y＝f(x)－x有三个零点等价于

a＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋3x，x＜0，,x2＋x－1，x≥0))有三个根.

令h(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋3x，x＜0，,x2＋x－1，x≥0，))

画出y＝h(x)的图象如图所示，将水平直线y＝a从上向下平移，当a＝0时，有两个交点，再向下平移，有三个交点，当a＝－1时，有三个交点，再向下就只有两个交点了，因此a∈[－1，0).

[答案][－1，0)

[技法领悟]

利用数形结合探究方程解的问题应留意两点

(1)探讨方程的解(或函数的零点)一般可构造两个函数，使问题转化为探讨两曲线的交点问题，但用此法探讨方程的解肯定要留意图象的精确性、全面性，否则会得到错解.

(2)正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则，不要刻意去用数形结合.

[应用体验]

1.已知f(x)＝|x|＋|x－1|，若g(x)＝f(x)－a的零点个数不为0，则a的最小值为________.

解析：原方程等价于f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－2x，x0，,1，0≤x≤1，,2x－1，x1，))其图象如图所示，要使a＝f(x)有零点，则a≥1，因此a的最小值为1.

答案：1

2.已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|x|，x≤m，,x2－2mx＋4m，x＞m，))其中m＞0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________.

解析：作出f(x)的图象如图所示.当x＞m时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2

所以要使方程f(x)＝b有三个不同的根，则有4m－m2＜m，即m2－3m＞0.又m＞0，解得

答案：(3，＋∞)

应用(二)利用数形结合思想解决不等式问题

[例2]若不等式eq\r(9－x2)≤k(x＋2)－eq\r(2)的解集为区间[a，b]，且b－a＝2，则k＝________.

[解析]如图，分别作出直线y＝k(x＋2)－eq\r(2)与半圆y＝eq\r(9－x2).

由题意，知直线在半圆的上方，且过定点A(－2，－eq\r(2))，由b－a＝2，可知b＝3，a＝1，即直线与半圆交点N的横坐标为1，代入y＝eq\r(9－12)＝2eq\r(2)，所以直线y＝k(x＋2)－eq\r(2)过点(1，2eq\r(2))，则k＝kAN＝eq\f(2\r(2)－（－\r(2)）,1－（－2）)＝eq\f(3\r(2),3)＝eq\r(2).

[答案]eq\r(2)

[技法领悟]

利用数形结合思想解不等式或求参数范围问题的技巧

求参数范围或解不等式问题时常常联系函数的图象，依据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化为数量关系来解决问题.

[应用体验]

3.已知f(x)为奇函数，且当x＞0时，f(x)单调递增，f(1)＝0，若f(x－1)＞0，则x的取值范围为