6.2.3＆6.2.4　组合和组合数 解析版.docx

6.2.3＆6.2.4组合和组合数

【考点梳理】

考点一、组合概念的理解 考点二、组合数（方程）的计算

考点三、组合数的性质及应用 考点四、实际问题中的组合计数问题

考点五、代数中的组合计数问题 考点六、几何组合计数问题

考点七、分组分配问题 考点八、x+y+z=n的整数解的个数

考点九、其它组合计数问题 考点十：组合的综合问题

【知识梳理】

知识点一组合及组合数的定义

1．组合

一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．

2．组合数

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Ceq\o\al(m,n)表示．

知识点二排列与组合的关系

相同点

两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素

不同点

排列问题中元素有序，组合问题中元素无序

关系

组合数Ceq\o\al(m,n)与排列数Aeq\o\al(m,n)间存在的关系

Aeq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(m,n)Aeq\o\al(m,m)

知识点三组合数公式

组合数

公式

乘积

形式

Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n?n－1??n－2?…?n－m＋1?,m！)，

其中m，n∈N*，并且m≤n

阶乘

形式

Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m！?n－m?！)

规定：Ceq\o\al(0,n)＝1.

知识点四组合数的性质

性质1：Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n).

性质2：Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n).

【题型归纳】

题型一、组合概念的理解

1．（2023下·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐市第六十八中学校考期中）下列四个问题属于组合问题的是（????）

A．从名志愿者中选出人分别参加导游和翻译的工作

B．从、、、这个数字中选取个不同的数字排成一个三位数

C．从全班同学中选出名同学参加学校运动会开幕式

D．从全班同学中选出名同学分别担任班长、副班长

【答案】C

【分析】根据组合的定义逐项判断可得出合适的选项.

【详解】对于A选项，从名志愿者中选出人分别参加导游和翻译的工作，

将人选出后，还要安排导游或翻译的工作，与顺序有关，这个问题为排列问题；

对于B选项，从、、、这个数字中选取个不同的数字排成一个三位数，

选出三个数字之后，还要将这三个数安排至个位、十位、百位这三个数位，

与顺序有关，这个问题为排列问题；

对于C选项，从全班同学中选出名同学参加学校运动会开幕式，只需将三名同学选出，

与顺序无关，这个问题为组合问题；

对于D选项，从全班同学中选出名同学分别担任班长、副班长，

将人选出后，还要安排至班长、副班长两个职务，与顺序有关，这个问题为排列问题.

故选：C.

2．（2023下·山西晋中·高二校考期中）下列问题中不是组合问题的是（????）

A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次

B．平面上有9个不同点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条直线

C．集合的含有三个元素的子集有多少个

D．从高二（6）班的50名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法

【答案】D

【分析】根据组合的性质逐一判断即可.

【详解】因为两人握手没有顺序之分，所以选项A问题是组合问题；

因为两点组成直线没有顺序之分，所以选项B问题是组合问题；

因为集合元素具有无序性，所以选项C问题是组合问题；

因为这2名学生参加的节目有顺序之分，所以选项D问题不是组合问题，

故选：D

3．（2021·高二课时练习）以下四个问题，属于组合问题的是（????）

A．从3个不同的小球中，取出2个排成一列

B．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌

C．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星

D．从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地

【答案】C

【分析】根据组合的定义即可得到答案.

【详解】只有从100位幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题，而A,B,D均与顺序有关.

故选：C.

题型二、组合数（方程）的计算

4．（2024上·吉林·高二校联考期末）计算的值是（????）

A．62 B．102 C．152 D．540

【答案】A

【分析】利用组合和排列数公式计算

【详解】

故选：A

5．（2022上·辽宁葫芦岛·高二兴城市高级中学校联考阶段练习）已知，则x=（）

A．3或10 B．3 C．17 D．3或17

【答案】A

【分析】根据组合数的性质求解即可

【详解】因为，故或，

即或

故选：A

6．（2023上·高二课时练习）（1）计算：①＝