第01讲 函数与导数中的新定义综合（学生版）.docx

第01讲函数与导数中的新定义综合

（20类核心考点精讲精练）

新定义”主要是指新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种。

在新高考数学科目的考察中，函数与导数部分的新定义占据了举足轻重的地位，该部分内容主要检验学生对函数的基本概念、核心性质及运算技巧的掌握程度，同时也涵盖了对导数概念的理解、计算能力的展现以及其在多种场景下的应用。试题设计往往紧密贴合现实生活或科学情境，旨在评估学生运用函数与导数知识体系解决实际复杂问题的能力。

新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．

对于新定义的题目，一定要耐心理解定义，新的定义不但考查的是旧的知识点的延伸，更考查对于新知识的获取理解能力，抓住关键点。对于以函数为背景的新定义问题的求解策略要紧扣新定义和用好函数的性质，分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；同时时要善于从试题中发现可以使用的函数的性质的一些因素

（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；

（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；

（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；

（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.

为此，考生需对基础函数的各种属性、图象特征、运算规律有深入透彻的理解，并熟练掌握导数的基本定义、其蕴含的几何与物理意义以及多样化的计算方法。进一步地，针对函数与导数在解决实际问题中的典型应用，如求解最优化问题、分析变化率趋势、确定曲线在某点的切线方程等，考生应具备扎实的分析思路和有效的解决策略。

综上所述，备考过程中，考生应高度重视基础知识的巩固与深化，同时加强针对实际问题的解题训练，以提升自身的综合应用能力。

考点一、高斯取整函数

1．（2024·山东青岛·三模）定义x表示不超过的最大整数.例如:，则（?????）

A． B．

C．是偶函数 D．是增函数

2．（2024·河南新乡·二模）函数被称为取整函数，也称高斯函数，其中表示不大于实数的最大整数．若，满足，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

3．（2024·重庆·模拟预测）高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”定义为：对于任意实数x，记表示不超过x的最大整数，则称为“高斯函数”．例如：，．

(1)设，，求证：是的一个周期，且恒成立；

(2)已知数列的通项公式为，设．

①求证：；

②求的值．

1．（2024·全国·一模）数学上，常用表示不大于x的最大整数．已知函数，则下列正确的是（）．

A．函数在定义域上是奇函数 B．函数的零点有无数个

C．函数在定义域上的值域是 D．不等式解集是

2．（2024·河南开封·二模）（多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一．用其名字命名的高斯取整函数为，表示不超过x的最大整数，例如，．下列命题中正确的有（????）

A．，

B．，，

C．，

D．，

3．（2024·全国·模拟预测）（多选）函数是取整函数，也被称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，例如：，.若在函数的定义域内，均满足在区间上，是一个常数，则称为的取整数列，称为的区间数列.下列说法正确的是（????）

A．的区间数列的通项

B．的取整数列的通项

C．的取整数列的通项

D．若，则数列的前项和

考点二、二阶行列式

1．（2024·福建宁德·模拟预测）定义，若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为（??）

A． B． C． D．

1．（2023·河南·三模）我们称为“二阶行列式”，规定其运算为．已知函数的定义域为，且，若对定义域内的任意都有，则（????）

A． B．是偶函数 C．是周期函数 D．没有极值点

2．（22-23高一下·江西萍乡·期中）把符号称为二阶行列式，规定它的运算法则为．已知函数．

(1)若，，求的值域；

(2)函数，若对，，都有恒成立，求实数的取值范围．

考点三、狄利克雷函数

1．（2024·全国·模拟预测）德国数学家狄利克雷（Dirichlet）是解析数论的创始人之一，下列关于狄利克雷函数的结论正确的是（????）

A．有零点 B．是单调函数

C．是奇函数 D．是周期函数

2．（23-24高三上·广东惠州·阶段练习）（多选）狄利