第01讲 空间向量及其线性运算（思维导图+4知识点+6考点+过关检测）（解析版）.docx

第01讲空间向量及其线性运算

模块一思维导图串知识

模块二基础知识全梳理（吃透教材）

模块三核心考点举一反三

模块四小试牛刀过关测

1．了解空间向量的概念；

2．掌握空间向量的加减数乘运算；

3．掌握空间向量的运算律；

4．了解共线向量和共面向量定理.

知识点1空间向量的有关概念

1、空间向量的定义及表示

（1）定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量．

（2）长度（模）：空间向量的大小叫做向量的长度或模．

（3）表示方法：=1\*GB3①几何表示法：空间向量用有向线段表示；=2\*GB3②字母表示法：用字母a、b、c，…表示，若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作QUOTE，其模记为QUOTE或QUOTE．

2、几类特殊向量

（1）零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为。规定：与任意向量平行．

（2）单位向量：长度为1的空间向量，即．

（3）相等向量：方向相同且模相等的向量．

（4）相反向量：方向相反但模相等的向量．

（5）共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．平行于记作．

知识点2空间向量的线性运算

1、空间向量的加减法

空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法（如下图）．

2、空间向量加减法运算律

交换律：结合律：

小结：空间向量加法的运算的小技巧

（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，

即：

（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，

即：；

3、空间向量的数乘运算

（1）定义：实数QUOTE与空间向量QUOTE的乘积QUOTE仍是一个向量，称为向量的数乘运算．

（2）几何意义：当QUOTE时，QUOTE与QUOTE方向相同；

当QUOTE时，QUOTE与QUOTE方向相反；

当QUOTE时，QUOTE．

QUOTE的长度是QUOTE的长度的|QUOTE|倍．

（3）运算律：分配律：QUOTE；结合律：QUOTE．

知识点3共线向量

1、空间向量共线的充要条件：对任意两个空间向量QUOTE，QUOTE，QUOTE∥QUOTE的充要条件是存在实数QUOTE，使得QUOTE.

2、直线的方向向量：如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量QUOTE，则对于直线l上任意一点QUOTE，存在实数QUOTE，使得QUOTE.

与向量QUOTE平行的非零向量称为直线l的方向向量．这样，直线l任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示，也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定。

3、证明空间三点共线的三种思路：对于空间三点P、A、B可通过证明下列结论来证明三点共线

（1）存在实数QUOTE，使QUOTE成立.

（2）对空间任一点O，有QUOTE.

（3）对空间任一点O，有QUOTE.

知识点4共面向量

1、定义：如图，如果表示向量QUOTE的有向线段QUOTE所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量QUOTE平行与直线l．如果直线OA平行于平面QUOTE或在平面QUOTE内，那么称向量QUOTE平行于平面QUOTE．平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．

2、向量共面的充要条件：如果两个向量QUOTE，QUOTE不共线，那么向量QUOTE与向量QUOTE，QUOTE共面的充要条件是存在唯一的有序实数对QUOTE，使QUOTE．

3、向量共面证明思路

（1）证明点P在平面ABC内，可以用QUOTE，也可以用QUOTE，

若用QUOTE，则必须满足QUOTE.

（2）判断三个向量共面一般用QUOTE，

证明三线共面常用QUOTE，

证明四点共面常用QUOTE（其中QUOTE）

考点一：空间向量的概念辨析

例1．（23-24高二上·山东日照·月考）下列命题中为真命题的是（????）

A．向量与的长度相等

B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆

C．空间非零向量就是空间中的一条有向线段

D．不相等的两个空间向量的模必不相等

【答案】A

【解析】选项A：因为空间向量与互为相反向量，所以空间向量与的长度相等，所以A正确；

选项B：将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，所以B错误；

选