第01讲 平面向量的概念及线性运算（六大题型）（练习）（解析版）.docx

第01讲平面向量的概念及线性运算

目录

TOC\o1-2\h\z\u01模拟基础练 2

题型一：平面向量的基本概念 2

题型二：平面向量的线性运算及求参数问题 3

题型三：共线定理及其应用 4

题型四：平面向量基本定理、交叉分解定理及应用 7

题型五：平面向量的直角坐标运算 10

题型六：向量共线的坐标表示 13

02重难创新练 14

03真题实战练 21

题型一：平面向量的基本概念

1．下列说法正确的是（????）

A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小

B．由于零向量的方向不确定，因此零向量不能与任意向量平行

C．模为1的向量都是相等向量

D．向量的模可以比较大小

【答案】D

【解析】向量是有大小又有方向的矢量，不能比较大小，故A错；

由于零向量的方向不确定，故规定零向量与任意向量平行，故B错；

长度相等、方向相同的向量称为相等向量，模长为1的向量只规定了长度相等，方向不一等相同，故C错；

向量的模长是一个数量，因此可以比较大小，故D正确.

故选：D.

2．关于平面向量，下列说法正确的是（????）

A．向量可以比较大小 B．向量的模可以比较大小

C．速度是向量，位移是数量 D．零向量是没有方向的

【答案】B

【解析】向量不可以比较大小，但向量的模是数量，可以比较大小，A错误，B正确；

速度和位移都有方向和大小，是向量，C错误；

零向量方向任意，D错误.

故选：B

3．若向量与为非零向量，下列命题中正确的是（??）

A．若，则

B．

C．若非零向量，则与的方向相同

D．若，则

【答案】C

【解析】对于A选项，由于向量不能比大小，所以A选项错误；

对于B选项，，B错误；

对于C选项，因为，所以，

所以，

所以，设向量

又向量与是非零向量，所以，又，

所以，故与的方向相同；C正确；

若，方向不一定相同，则不一定相等，D错误；

故选：C.

题型二：平面向量的线性运算及求参数问题

4．如图所示，在平行四边形中，与交于点，是线段的中点，的延长线与交于点.若，，则等于（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】在平行四边形中，与交于点，是线段的中点，的延长线与交于点，

则，所以，则，

所以，则.

故选：B.

5．（2024·山东聊城·一模）是内的一点，若，，则（????）

A． B．1 C． D．

【答案】D

【解析】由，则，

所以，即，又，

故，故.

故选：D

6．已知向量共线，且，则．

【答案】或

【解析】由向量共线，故向量可能同向、可能反向，

当向量同向时，由，则，

当向量反向时，由，则.

即可能为或.

故答案为：或.

题型三：共线定理及其应用

7．（2024·浙江·模拟预测）已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（????）

A．、、三点共线 B．、、三点共线

C．、、三点共线 D．、、三点共线

【答案】C

【解析】对A，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故A错误；

对B，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故B错误；

对C，因为，，则，故、、三点共线，故C正确；

对D，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故D错误.

故选：C

8．已知非零向量和不共线，若与共线，则的值为．

【答案】/

【解析】非零向量和不共线，则，

由与共线，得，

因此，解得，所以的值为.

故答案为：

9．已知是不共线的向量，且，则（????）

A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线

【答案】C

【解析】A：假设存在实数，使得，则三点共线.

，得，无解，所以假设不成立，故A错误；

B：假设存在实数，使得，则三点共线.

，得，无解，所以假设不成立，故B错误；

C：，

假设存在实数，使得，则三点共线.

，得，解得，所以假设成立，故C正确；

D：，

假设存在实数，使得，则三点共线.

，得，无解，所以假设不成立，故D错误.

故选：C

10．已知分别为的边上的点，线段和相交于点，若，，，其中．则的最小值为．

【答案】

【解析】如图所示：

因为，所以

又，所以

，所以

,

三点共线，，化简得；

，当且仅当，，取等；

故答案为：.

11．在中，为上的一点，满足.若为上的一点，满足，则与的关系为；的最小值为.

【答案】

【解析】如图所示，

由得，即，

又，

所以，又为上的一点，

所以，

因为，，

所以，

当且仅当即时等号成立，

所以的最小值为.

故答案为：；.

题型四：平面向量基本定理、交叉分解定理及应用

12．已知分别为的边上的中线，设，,则＝（????）

??

A．＋ B．＋

C． D．＋

【答案】B

【解析】分别为的边