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第03讲空间向量基本定理
模块一思维导图串知识
模块二基础知识全梳理(吃透教材)
模块三核心考点举一反三
模块四小试牛刀过关测
1.类比平面向量基本定理理解空间向量基本定理;
2.掌握判断空间三个向量能否构成基底的方法;
3.能通过空间向量的线性运算用基底表示向量.
知识点1空间向量基本定理
1、定理内容:如果三个向量不共面,那么对空间任一向量,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使.
2、基底与基向量:如果三个向量不共面,那么所有空间向量组成的集合就是,这个集合可以看作由向量生成的,我们把叫做空间的一个基底,都叫做基向量。
【注意】(1)一个基底是一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,两者是相关联的不同概念;(2)空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底;
3、判断基底的基本思路及方法
(1)基本思路:判断三个空间向量是否共面,若共面,则不能构成基底,若不共面,则能构成基底;
(2)方法:=1\*GB3①如果向量中存在零向量,则不能作为基底;如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示,则不能构成基底;=2\*GB3②假设(),运用空间向量基本定理,建立的方程组,若有解,则共面,不能作为基底;若无解,则不共面,能作为基底。
4、用基底表示向量的步骤
(1)定基底:根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间的一个基底;
(2)找目标:用确定的基底(或已知基底)表示目标向量,需要根据三角形法则及平行四边形法则,结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简,最后求出结果;
(3)下结论:利用空间向量的一个基底可以表示出空间所有向量,表示要彻底,结果中只能含有,不能含有其他形式的向量。
知识点2空间向量的正交分解
1、单位正交基底:如果空间一个基底的三个向量两两互相垂直,那么这个基底叫作正交基底,特别地,当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时,称这个基底为单位正交基底,通常用表示。
2、正交分解:由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量,均可以分解为三个向量,使.像这样,把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行正交分解。
考点一:三个向量构成基底的判断
例1.(23-24高二上·重庆·期末)正方体中的有向线段,不能作为空间中的基底的是(????)
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】A选项,共面,不能作为空间中的一组基底,A正确;
B选项,不共面,能作为空间中的一组基底,B错误;
C选项,不共面,能作为空间中的一组基底,C错误;
D选项,因为,,
设,即,,无解,
故不共面,能作为空间中的一组基底,D错误.
故选:A
【变式1-1】(23-24高二上·广东东莞·期末)若构成空间的一个基底,则下列各组中不能构成空间的一个基底的是(????)
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】是空间的一个基底,故不共面,
A选项,设,则,无解,
故不共面,故可构成空间的一个基底;
B选项,设,则,无解,
故不共面,故可构成空间的一个基底;
C选项,设,则,无解,
故不共面,故可构成空间的一个基底;
D选项,设,则,得,
故共面,故不可构成空间的一个基底.故选:D
【变式1-2】(23-24高二下·四川成都·开学考试)(多选)已知是三个不共面的向量,则下列向量组中,可以构成基底的是(????)
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】对于A,因为,
则三个向量共面,它们不能构成一个基底,故A不符合题意;
对于B,假设共面,则必有不全为0的实数,
使得,又不共面,
则,无解,所以不共面,它们能构成一个基底,故B符合题意;
对于C,假设共面,则必有不全为0的实数,
使得,又不共面,
则,无解,所以不共面,它们能构成一个基底,故C符合题意;
对于D,假设共面,则必有不全为0的实数,
使得,又不共面,
则,无解,所以不共面,它们能构成一个基底,故D符合题意.故选:BCD
【变式1-3】(23-24高二上·河南·月考)(多选)若是空间的一个基底,则下列向量中可以和,构成空间一个基底的是(????)
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】对于A,,
∴,,共面,不能构成基底,A错误;
对于B,,
∴,,共面,不能构成基底,B错误;
对于C,设,则,无实数解,
所以,,不共面,构成基底,C正确;
对于D,设,则,无实数解,
所以,,不共面,构成基底,D正确.故选:CD
考点二:用基底表示空间中某一向量
例2.(23-24高二上·湖北荆门·期末)在四面体中,M点在线段上,且,G是的重心,已知,,,则等于(????)
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为G是的重心,
则,
由,得,
所以.故选:C.
【变式2-1】(23-24高二
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