第05讲 空间向量的概念及其运算、空间向量法求空间角与空间距离（学生版）.docx

第05讲空间向量的概念及其运算、

空间向量法求空间角与空间距离

（7类核心考点精讲精练）

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例

考点分析

关联考点

2024年新I卷，第17题,15分

面面角的向量求法及应用

由二面角大小求线段长度

证明线面平行

证明面面垂直

2024年新Ⅱ卷，第7题,15分

求线面角

锥体体积的有关计算

台体体积的有关计算

2024年新Ⅱ卷，第17题,15分

求平面的法向量

面面角的向量求法

证明线面垂直

线面垂直证明线线垂直

2023年新I卷，第18题,12分

空间位置关系的向量证明

面面角的向量求法

已知面面角求其他量

无

2023年新Ⅱ卷，第20题,12分

证明线面垂直

线面垂直证明线线垂直

面面角的向量求法

2022年新I卷，第9题,5分

求异面直线所成的角

求线面角

无

2022年新I卷，第19题,5分

求点面距离

面面角的向量求法

无

2022年新Ⅱ卷，第20题,12分

面面角的向量求法

证明线面平行

2021年新I卷，第12题,5分

求空间向量的数量积

空间向量的坐标表示

垂直关系

2021年新I卷，第20题,12分

由二面角大小求线段长度或距离

锥体体积的有关计算

线面垂直证明线线垂直

面面垂直证线面垂直

2021年新Ⅱ卷，第19题,12分

面面角的向量求法

证明面面垂直

2020年新I卷，第20题,12分

线面角的向量求法

证明线面垂直

2020年新I卷，第20题,12分

线面角的向量求法

证明线面垂直

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度中等偏难，分值为5-15分

【备考策略】1.掌握空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置，会运用空间两点间的距离公式

2.理解空间向量的概念，理解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的线性运算及其坐标表示

3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直，会求平面法向量

4.熟练掌握空间中点线面的位置关系，会运用空间向量证明平行、垂直关系

5.会运用空间向量求空间距离及空间角

【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般在解答题中考查线面平行（垂直）、面面平行（垂直）的判定及其性质，考查空间距离和空间角的求解，需强化巩固复习.

知识讲解

1．空间向量及其有关概念

概念

语言描述

共线向量

(平行向量)

表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合

共面向量

平行于同一个平面的向量

共线向量定理

对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b?存在λ∈R，使a＝λb

共面向量定理

若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面?存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb

空间向量基本定理及推论

定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc.

推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使eq\o(OP,\s\up7(―→))＝xeq\o(OA,\s\up7(―→))＋yeq\o(OB,\s\up7(―→))＋zeq\o(OC,\s\up7(―→))且x＋y＋z＝1

2．数量积及坐标运算

(1)两个空间向量的数量积：①a·b＝|a||b|cos〈a，b〉②a⊥b?a·b＝0(a，b为非零向量)

③设a＝(x，y，z)，则|a|2＝a2，|a|＝eq\r(x2＋y2＋z2).

(2)空间向量的坐标运算：

a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)

向量和

a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)

向量差

a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)

数量积

a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3

共线

a∥b?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0)

垂直

a⊥b?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0

夹角公式

cos〈a，b〉＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3)))

3．直线的方向向量与平面的法向量

(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或共线，则称此向量a为直线l的方向向量．

(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．

(3)方向向量和法向量均不为零向量且不唯一．

空间位置关系的向量表示

设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，ν，则

(1)线线平行：l∥m?a∥b?a＝kb，k∈R；

线面平行：l∥α?a⊥u?a·u＝0；面面平行：α∥