空间中平面及直线的方程.ppt

2.直线方程分析：点M在直线L上?点M同时在这两个平面上,?点M的坐标同时满足这两个平面的方程.空间直线可以看作是两个平面的交线.设直线L是平面?1和?2的交线,平面的方程分别为A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0,这就是空间直线的一般方程.来表示.那么直线L可以用方程组**********通过空间一直线L的平面有无限多个，只要在这无限多个平面中任意选取两个，把它们的方程联立起来，所得的方程组就表示空间直线L．*容易知道，直线上任一向量都平行于该直线的方向向量．*****5-3空间中平面与直线的方程如果一非零向量垂直于一平面,这向量就叫做该平面的法向量.法向量平面上的任一向量均与该平面的法线向量垂直.当平面?上一点M0(x0,y0,z0)和它的一个法线向量=(A,B,C)为已知时,平面?的位置就完全确定了.唯一确定平面的条件1.平面的方程平面的点法式方程设M(x,y,z)是平面?上的任一点,则有因为n=(A,B,C),已知M0(x0,y0,z0)为平面上一点,n=(A,B,C)为平面?的一个法(线)向量.所以A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.这就是平面的方程,称为点法式方程.平面的点法式方程(x-2)-2(y+3)+3z=0,即x-2y+3z-8=0.解根据平面的点法式方程,得所求平面的方程为过点且法线向量为的平面的方程为例1求过点(2,-3,0)且以=(1,-2,3)为法线向量的平面的方程.平面的点法式方程例2求过三点M1(2,-1,4)、M2(-1,3,-2)和M3(0,2,3)的平面的方程.解根据平面的点法式方程,得所求平面的方程为14(x-2)+9(y+1)-(z-4)=0,即14x+9y-z-15=0.过点且法线向量为的平面的方程为作为平面的法线向量.我们可以用提示：例3设P0(x0,y0,z0)是平面Ax+By+Cz+D=0外一点,求P0到这平面的距离.解在平面上任取一点P1(x1?y1?z1)?则P0到这平面的距离为设是平面的单位法线向量.例4求点(2,1,1)到平面x+y-z+1=0的距离.点P0(x0,y0,z0)到平面Ax+By+Cz+D=0距离:解由于平面的点法式方程是x,y,z的一次方程,而任一平面都可以用它上面的一点及它的法线向量来确定,所以任一平面都可以用三元一次方程来表示.反过来,可以证明任一三元一次方程Ax+By+Cz+D=0的图形总是一个平面.方程Ax+By+Cz+D=0称为平面的一般方程,其法线向量为例如,方程3x-4y+z-9=0表示一个平面,平面的一个法线向量为平面的一般式方程010302平面的三点式方程已知不在同一直线上的三点与不共线,即以作为所求平面的法向量.设是平面上任一点,显然垂直于此混合积的坐标形式为:例5设一平面与x、y、z轴的交点依次为P(a,0,0)、Q(0,b,0)、R(0,0,c),求此平面的方程(a?0,b?0,c?0).将其代入所设方程,得解因为点P、Q、R都在这平面上?所以它们的坐标都满足所设方程?即有aA?D?0?bB?D?0?cC?D?0?设所求平面的方程为Ax+By+Cz+D?0.上述方程叫做平面的截距式方程,而a、b、c依次