7.4 空间距离（精讲）（学生版） 2024年高考数学一轮复习一隅三反系列（新高考）.pdf

7.4空间距离（精讲）

一．点到线的距离

1.概念：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段

的长度叫做这个点到该平面的距离；



设＝auu(au)

，直线l的一个单位方向向量为，则向量在直线l上的投影向量＝，在Rt△APQ中，

2

2

由勾股定理，得PQ＝|2-||2＝a(au)

|

二．两异面直线间的距离：即两条异面直线公垂线段的长度.



三．点到平面的距离：已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一.过P作平面α



n

的垂线l，交平面α于Q，则是直线l的方向向量，且P到平面α的距离就是在直线l上的投影向



APn

nAPn

量的长度.因此PQAP

nnn

四．直线到平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条

直线到这个平面的距离；

五．两个平面间的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，

我们把它叫做这两个平行平面间的距离.

一．求点面距常见方法

方法一：作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离

方法二：等体积法

方法三：向量法

二.向量法求两异面直线的距离



分别以这两条异面直线上任意两点为起点和终点的向量为an

，与这两条异面直线都垂直的法向量为，则两



an



an

条异面直线间的距离就是在方向上的正射影向量的模，设为d，从而由公式d求解.

n